El método de coordenadas complejas: transformaciones conformes

El plano complejo como plano geométrico

Identificamos el plano euclideo con el plano complejo $\mathbb{C}$: cada punto $P = (x, y)$ corresponde al número complejo $z = x + iy$. Con esta identificación, las operaciones algebraicas sobre $\mathbb{C}$ adquieren significado geométrico.

Distancia: $|z_1 - z_2|$ es la distancia euclídea entre los puntos $z_1$ y $z_2$. La igualdad $|z - c| = r$ es la ecuación de un círculo de centro $c$ y radio $r$.

Conjugado: $\bar{z} = x - iy$ es la reflexión de $z$ sobre el eje real. La condición $\bar{z} = z$ significa que $z$ es real (el punto está en el eje real).

Argumento: $\arg(z_1 - z_2)$ es el ángulo que forma la recta $z_2 z_1$ con el eje real (medido en sentido antihorario). La diferencia de argumentos $\arg\left(\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}\right)$ es el ángulo $\angle(z_1 z_2, z_1 z_3)$ dirigido, es decir, el ángulo en $z_1$ del triángulo $z_1 z_2 z_3$.

La ventaja del plano complejo sobre las coordenadas cartesianas para geometría olímpica es que las rotaciones y las reflexiones se expresan como multiplicaciones y conjugaciones, y la concíclicidad tiene una caracterización algebráica elegante mediante la razón cruzada.

Rotaciones y traslaciones: la multiplicación compleja

La operación algebraica fundamental es la multiplicación por un número complejo de módulo $1$:

**Rotación de ángulo $\theta$ alrededor del origen**: el punto $z$ se lleva a $e^{i\theta} z = (\cos\theta + i\sin\theta) z$. La longitud se preserva ($|e^{i\theta} z| = |z|$) y el argumento aumenta en $\theta$.

**Rotación de ángulo $\theta$ alrededor de un punto $c$**: el punto $z$ se lleva a $c + e^{i\theta}(z - c)$. Esta es la fórmula más usada en olimpiadas: para rotar $z$ un ángulo $\theta$ alrededor de $c$, trasladar al origen ($z - c$), rotar ($e^{i\theta}(z-c)$) y volver a trasladar ($+c$).

**Homotecia de razón $k$ y centro $c$**: $z \mapsto c + k(z - c)$. Si $k = re^{i\theta}$ (complejo), la transformación es una espiral de semejanza: homotecia de razón $|k|$ y rotación de ángulo $\arg(k)$, ambas centradas en $c$.

Ejemplo: la rotación de $60°$ alrededor de $c$ que lleva $A$ a $B$ satisface $B - c = e^{i\pi/3}(A - c)$. En un triángulo equilátero $ABC$ con $c$ el baricentro, las rotaciones sucesivas de $120° = 2\pi/3$ llevan $A \to B \to C \to A$, es decir $B - c = e^{2i\pi/3}(A - c)$ y $C - c = e^{4i\pi/3}(A - c)$.

Reflexiones en el plano complejo

La reflexión es más sutil que la rotación porque involucra el conjugado $\bar{z}$.

**Reflexión sobre el eje real ($y = 0$)**: $z \mapsto \bar{z}$.

**Reflexión sobre el eje imaginario ($x = 0$)**: $z \mapsto -\bar{z}$.

**Reflexión sobre una recta que pasa por el origen con dirección $e^{i\alpha}$**: la recta es $\{t e^{i\alpha} : t \in \mathbb{R}\}$. La reflexión de $z$ sobre esta recta es $e^{2i\alpha} \bar{z}$. Demostración: el punto $z$ tiene un componente paralelo a $e^{i\alpha}$ (que no cambia) y un componente perpendicular (que se invierte); la fórmula $e^{2i\alpha} \bar{z}$ encapsula exactamente esto.

**Reflexión sobre una recta arbitraria que pasa por $c$ con dirección $e^{i\alpha}$**: combinar traslación y la reflexión anterior: $z \mapsto c + e^{2i\alpha}\overline{(z - c)} = e^{2i\alpha}\bar{z} + c - e^{2i\alpha}\bar{c}$.

Aplicación: si $A$, $B$ son puntos del plano complejo y queremos hallar la reflexión de $P$ sobre la recta $AB$, escribimos la dirección de $AB$ como $e^{i\alpha} = \frac{B - A}{|B - A|}$ y aplicamos la fórmula con $c = A$.

Concíclicidad y la razón cruzada

La herramienta más poderosa del método complejo para problemas de concíclicidad es la razón cruzada.

Definición: dados cuatro puntos distintos $z_1, z_2, z_3, z_4 \in \mathbb{C}$, su razón cruzada es el número complejo $$(z_1, z_2; z_3, z_4) = \frac{(z_1 - z_3)(z_2 - z_4)}{(z_1 - z_4)(z_2 - z_3)}.$$

Teorema fundamental: cuatro puntos $z_1, z_2, z_3, z_4$ son concíclicos (o colineales) si y solo si su razón cruzada es un número real.

Demostración intuitiva: la razón cruzada es invariante bajo las transformaciones de Möbius (que llevan círculos en círculos). Una transformación de Möbius que lleva los tres primeros puntos al eje real lleva los cuatro al eje real (si eran concíclicos) o no (si no lo eran). Estar en el eje real equivale a que la razón cruzada es real.

Cómo usarlo en olimpiadas: para demostrar que $P$, $A$, $B$, $C$ son concíclicos (donde $A$, $B$, $C$ son puntos conocidos del círculo $\omega$), calcular $(P, A; B, C)$ y mostrar que es real. En la práctica, esto se hace verificando que $(P, A; B, C) = \overline{(P, A; B, C)}$, es decir, que la razón cruzada es igual a su conjugado.

Ángulos y la razón cruzada: $\arg\left(\frac{(z_1 - z_3)(z_2 - z_4)}{(z_1 - z_4)(z_2 - z_3)}\right) = 0$ (módulo $\pi$) es exactamente la condición de concíclicidad expresada en términos de ángulos orientados: $\measuredangle(z_3 z_1, z_3 z_2) = \measuredangle(z_4 z_1, z_4 z_2)$.

Problema olímpico resuelto con coordenadas complejas

Problema: Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $P$ un punto en el arco $BC$ de su circuncircunferencia (el arco que no contiene a $A$). Demuestra que $PA = PB + PC$.

Solución: Colocamos la circuncircunferencia como el círculo unidad $|z| = 1$. Como $\triangle ABC$ es equilátero, podemos poner $A = 1$, $B = e^{2i\pi/3} = \omega$, $C = e^{4i\pi/3} = \omega^2$ donde $\omega = e^{2i\pi/3}$ es la raíz cúbica primitiva de la unidad ($\omega^3 = 1$). El punto $P$ está en el arco $BC$ sin $A$, así $P = e^{i\theta}$ para algún $\theta \in (2\pi/3, 4\pi/3)$.

Calculamos $PA$, $PB$, $PC$: $$PA = |P - A| = |e^{i\theta} - 1|, \quad PB = |e^{i\theta} - \omega|, \quad PC = |e^{i\theta} - \omega^2|.$$

Usamos el hecho de que $x^3 - 1 = (x-1)(x-\omega)(x-\omega^2)$ para todo $x$. Evaluando en $x = e^{i\theta}$: $|e^{3i\theta} - 1| = |e^{i\theta} - 1| \cdot |e^{i\theta} - \omega| \cdot |e^{i\theta} - \omega^2| = PA \cdot PB \cdot PC.$ Esto no es directamente la igualdad que buscamos.

La demostración correcta usa el teorema de Ptolomeo: en el cuadrilátero cíclico $ABPC$ (los cuatro puntos en la circuncircunferencia), $PA \cdot BC = PB \cdot AC + PC \cdot AB$. Como $\triangle ABC$ es equilátero, $AB = BC = CA =: s$. Luego $PA \cdot s = PB \cdot s + PC \cdot s$, es decir $PA = PB + PC$. $\blacksquare$

La versión compleja del teorema de Ptolomeo establece que para cuatro puntos $z_1, z_2, z_3, z_4$ en una circunferencia, $|z_1 - z_3| \cdot |z_2 - z_4| = |z_1 - z_2| \cdot |z_3 - z_4| + |z_1 - z_4| \cdot |z_2 - z_3|$, lo que se prueba mostrando que la razón cruzada $(z_1, z_2; z_3, z_4)$ es real y positiva, y tomando valores absolutos en la identidad $(z_1 - z_3)(z_2 - z_4) = (z_1 - z_2)(z_3 - z_4) + (z_1 - z_4)(z_2 - z_3)$.