Introducción a las coordenadas baricéntricas

Definición: puntos como combinaciones ponderadas de los vértices

Dado un triángulo $\triangle ABC$ fijo (el "triángulo de referencia"), las coordenadas baricéntricas de un punto $P$ del plano son tres números $(x : y : z)$ tales que $$P = \frac{x \cdot A + y \cdot B + z \cdot C}{x + y + z}.$$

Las coordenadas baricéntricas son homogéneas: $(x : y : z)$ y $(kx : ky : kz)$ representan el mismo punto para todo $k \ne 0$. Si $x + y + z = 1$, se habla de coordenadas baricéntricas normalizadas.

La interpretación física: si colocamos pesos de masa $x$ en $A$, $y$ en $B$ y $z$ en $C$, el punto $P$ es el centro de masa del sistema. Si $x = y = z$, el centro de masa está en el baricentro; si $x$ es mucho mayor que $y$ y $z$, $P$ está cerca de $A$.

La región de validez: $P$ está en el interior del triángulo si y solo si $x, y, z > 0$. Si alguna coordenada es negativa, $P$ está en el exterior. Si una coordenada es cero, $P$ está en el lado opuesto al vértice correspondiente.

Los vértices y puntos notables en baricéntricas

Los vértices del triángulo de referencia tienen coordenadas baricéntricas especialmente simples:

$A = (1 : 0 : 0)$, $B = (0 : 1 : 0)$, $C = (0 : 0 : 1)$.

Los puntos medios de los lados: el punto medio de $BC$ es $(0 : 1 : 1)$, el de $CA$ es $(1 : 0 : 1)$, el de $AB$ es $(1 : 1 : 0)$.

**Baricentro $G$**: el baricentro es el centro de masa de los tres vértices con pesos iguales: $G = (1 : 1 : 1)$.

**Incentro $I$**: el incentro pesa a cada vértice con la longitud del lado opuesto. Si $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$, entonces $I = (a : b : c)$. Demostración: el incentro está en la bisectriz de $A$, que divide $BC$ en la razón $c : b$ (propiedad de la bisectriz), luego el peso de $A$ es proporcional a $a$ (la longitud del lado opuesto a $A$).

Exincentros: el exincentro opuesto a $A$ (el centro del excírculo tangente a $BC$ y a las extensiones de $AB$ y $AC$) tiene coordenadas $(-a : b : c)$.

**Circuncentro $O$**: $O = (\sin 2A : \sin 2B : \sin 2C)$, equivalentemente $O = (a^2(b^2 + c^2 - a^2) : b^2(c^2 + a^2 - b^2) : c^2(a^2 + b^2 - c^2))$.

**Ortocentro $H$**: $H = (\tan A : \tan B : \tan C)$, equivalentemente $H = (\frac{1}{b^2+c^2-a^2} : \frac{1}{c^2+a^2-b^2} : \frac{1}{a^2+b^2-c^2})$ (en notación homogénea sin denominadores: $H = ((b^2+c^2-a^2)^{-1} : \ldots)$... simplificado: $H = (S_B S_C : S_C S_A : S_A S_B)$ donde $S_A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2}$).

La fórmula de distancias en coordenadas baricéntricas

La distancia entre dos puntos en baricéntricas se calcula con la fórmula del producto interno generalizado.

Fórmula: dados dos puntos $P = (x_1 : y_1 : z_1)$ y $Q = (x_2 : y_2 : z_2)$ en coordenadas baricéntricas normalizadas (con $x_i + y_i + z_i = 1$), la distancia al cuadrado es $$PQ^2 = -a^2(x_1 - x_2)(y_1 - y_2) \cdot \ldots$$La forma compacta más útil: si$\Delta P = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$, entonces$$PQ^2 = -a^2 \Delta y \, \Delta z - b^2 \Delta z \, \Delta x - c^2 \Delta x \, \Delta y$$donde$\Delta x = x_1 - x_2$,$\Delta y = y_1 - y_2$,$\Delta z = z_1 - z_2$.

Distancia de un vértice a un punto: para $P = (x : y : z)$ normalizado (con $x + y + z = 1$), la distancia $AP^2 = -a^2 yz + b^2 z(1-y-z) + c^2 y(1-y-z)$... La forma más práctica: $AP^2 = b^2 z + c^2 y - a^2 yz$ (cuando $x + y + z = 1$). Verificación: si $P = B = (0,1,0)$, $AP^2 = b^2 \cdot 0 + c^2 \cdot 1 - a^2 \cdot 1 \cdot 0 = c^2$, y $AB = c$ efectivamente.

La ecuación de la circunferencia circunscrita: en coordenadas baricéntricas, la circuncircunferencia del triángulo de referencia tiene ecuación $a^2 yz + b^2 zx + c^2 xy = 0$ (en coordenadas homogéneas). Cualquier otro círculo tiene la forma $a^2 yz + b^2 zx + c^2 xy + (lx + my + nz)(x + y + z) = 0$.

Líneas y puntos en baricéntricas: cevianas y el teorema de Ceva

Una recta en coordenadas baricéntricas tiene ecuación de la forma $lx + my + nz = 0$ (homogénea). Las tres cevianas de un triángulo son: ceviana desde $A$: ecuación $nz - my = 0$ (o alguna forma equivalente). Las rectas de los lados son: $BC$: $x = 0$; $CA$: $y = 0$; $AB$: $z = 0$.

**El pie de la ceviana desde $A$ hasta $D \in BC$**: si la ceviana desde $A$ pasa por el punto interior $P = (u : v : w)$, entonces el pie en $BC$ es $D = (0 : v : w)$ (basta anular la coordenada $x$).

Teorema de Ceva en baricéntricas: las tres cevianas $AD$, $BE$, $CF$ (con $D \in BC$, $E \in CA$, $F \in AB$) son concurrentes si y solo si el punto de concurrencia $P = (u : v : w)$ satisface que $D = (0 : v : w)$, $E = (u : 0 : w)$, $F = (u : v : 0)$. La condición algebraica equivalente es la del teorema de Ceva clásico: $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$, que en baricéntricas se lee directamente como $\frac{v}{w} \cdot \frac{w}{u} \cdot \frac{u}{v} = 1$ (siempre verdadero), confirmando que las cevianas hacia $(u:v:w)$ siempre concurren en $(u:v:w)$.

Esta es la gran ventaja de las baricéntricas para problemas de concurrencia: si queremos demostrar que un punto notable $P$ está en la ceviana $AD$, basta calcular las coordenadas de $P$ en baricéntricas y verificar que la primera coordenada de $D$ es $0$ (o lo análogo según el lado).

Cuándo elegir baricéntricas: guía de diagnóstico

Las baricéntricas son la herramienta óptima en los siguientes escenarios:

Problemas con el incentro o exincentros: la coordenada del incentro es $(a:b:c)$, simple y sin trigonometría. Cualquier punto en la bisectriz desde $A$ tiene la forma $(t : b : c)$ para algún $t$. Esto hace que los cálculos con el incentro y los excírculos sean directos.

Problemas con cevianas y razones de división: si el enunciado menciona puntos que dividen segmentos en razones dadas (como el baricentro, los puntos medios, los pies de alturas), las baricéntricas capturan estas razones directamente en las coordenadas.

Problemas con la circunferencia inscrita o exinscritas: la ecuación del incírculo en baricéntricas es conocida y manejable. Problemas sobre tangencias con el incírculo se simplifican notablemente.

Cuándo NO usar baricéntricas: problemas donde el triángulo de referencia no tiene un papel central (por ejemplo, problemas con cuatro o más círculos sin triángulo base), problemas con ángulos complicados (la trigonometría en baricéntricas puede ser más pesada que en coordenadas cartesianas o complejas), y problemas donde la persecución de ángulos orientados resuelve todo en tres líneas.

La recomendación práctica: si el enunciado menciona el incentro, exincentros, cevianas o razones de segmentos sobre los lados del triángulo, considerar baricéntricas como primera opción. Si el enunciado menciona ángulos inscritos, círculos y concíclicidad, considerar el método complejo o la persecución de ángulos orientados.