La ley de los senos extendida y sus aplicaciones olímpicas

Enunciado y demostración de la ley de los senos extendida

La ley de los senos extendida establece que en cualquier triángulo $ABC$ con lados $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ y circuncircunferencia $\Omega$ de radio $R$:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R.$

Demostración via el teorema del ángulo inscrito. Fijemos el lado $a = BC$ y el ángulo $A = \angle BAC$. Sea $O$ el centro de $\Omega$ y sea $D$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Omega$. Como $BD$ es un diámetro, $\angle BCD = 90°$ (ángulo inscrito en semiciclo). En el triángulo $BCD$, $\sin(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R}$. Por el teorema del ángulo inscrito, $\angle BDC = \angle BAC = A$ (ambos ángulos inscritos subtienden el mismo arco $BC$, siempre que $A$ y $D$ estén en el mismo arco; si $A$ está en el arco opuesto, $\angle BDC = 180° - A$ y $\sin(\angle BDC) = \sin A$ igualmente). Luego $\sin A = \frac{a}{2R}$, es decir $2R = \frac{a}{\sin A}$. Por simetría en $b$, $c$ se obtiene la igualdad triple.

El radio $R$ de la circuncircunferencia queda así completamente determinado por cualquier par (lado, ángulo opuesto). Esta es su verdadera utilidad: relaciona tres objetos geométricamente distintos (un lado, un ángulo, un círculo) en una sola fórmula.

La fórmula del radio circunscrito y cómo usarla

De la ley de los senos, el radio de la circuncircunferencia es $R = \frac{a}{2\sin A}$. Combinando con la fórmula del área $[ABC] = \frac{1}{2}ab\sin C$, se obtienen expresiones alternativas:

$R = \frac{abc}{4[ABC]},$

donde $[ABC]$ denota el área del triángulo. Esta igualdad conecta directamente el radio circunscrito con los tres lados y el área, y es el punto de partida para obtener la fórmula $[ABC] = \frac{abc}{4R}$.

En olimpiadas, $R$ aparece en situaciones como: (1) un punto $P$ en $\Omega$ tal que $PA + PB + PC$ es extremo, (2) condiciones de tipo "$\angle APB = 2C$" que se resuelven sabiendo que el ángulo inscrito es la mitad del central, y (3) problemas donde la condición "$ABCP$ es cíclico" se usa para reemplazar ángulos por lados vía $2R$.

Ejemplo de conversión: si el problema dice "$\angle BAC = 60°$" en un triángulo con $a = 7$, inmediatamente $R = \frac{7}{2\sin 60°} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$. Si además se sabe $b = 5$, la ley de los senos da $\sin B = \frac{b}{2R} = \frac{5}{2 \cdot 7/\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{14}$.

Convertir condiciones angulares en condiciones de longitud

Una de las aplicaciones más poderosas de la ley de los senos es la conversión de igualdades entre ángulos en igualdades entre lados. El principio es simple: si $\sin X = \sin Y$ (con $X$, $Y$ en $(0°, 180°)$), entonces $X = Y$ o $X + Y = 180°$.

Patrón frecuente en olimpiadas: la condición "$\triangle ABP$ es isósceles con $AP = BP$" equivale a "$\angle BAP = \angle ABP$". Pero la ley de los senos en el circuncírculo de $ABP$ dice $AP = 2R_{ABP} \sin(\angle ABP)$ y $BP = 2R_{ABP} \sin(\angle BAP)$. Luego $AP = BP \iff \sin(\angle ABP) = \sin(\angle BAP) \iff \angle ABP = \angle BAP$ (para ángulos en $(0°, 90°)$), lo que es la condición de isoscelismo. Esto puede parecer circular, pero la ley de los senos permite usar esta equivalencia en el sentido inverso: conociendo una igualdad de ángulos, se deduce una igualdad de lados, y viceversa.

Otra aplicación: si en un triángulo $ABC$ se sabe que $a\sin A = b\sin B$, entonces $a \cdot \frac{a}{2R} = b \cdot \frac{b}{2R}$, es decir $a^2 = b^2$, luego $a = b$ y el triángulo es isósceles.

La estrategia general: al ver una condición con $\sin$ de un ángulo en un problema de geometría, intentar expresar ese $\sin$ como $\frac{\text{lado opuesto}}{2R}$ para convertir la condición trigonométrica en una algebraica sobre los lados.

El área del triángulo en términos de R

De $R = \frac{abc}{4[ABC]}$ se despeja directamente $[ABC] = \frac{abc}{4R}$. Esta fórmula es extremadamente útil en olimpiadas porque permite calcular el área sin conocer la altura, solo con los tres lados y el radio circunscrito.

Combinando con la fórmula de Herón $[ABC] = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ (donde $s = \frac{a+b+c}{2}$), se obtiene una expresión para $R$ en función solo de los lados:

$R = \frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}.$

Forma alternativa con senos: como $[ABC] = \frac{1}{2}ab\sin C$, se tiene $R = \frac{abc}{4 \cdot \frac{1}{2}ab\sin C} = \frac{c}{2\sin C}$, que es la ley de los senos extendida, verificando la consistencia.

En problemas donde se pide calcular el área de un triángulo inscrito en un círculo dado, la fórmula $[ABC] = \frac{abc}{4R}$ suele ser el camino más directo. Por ejemplo: si $R = 5$ y los lados son $a = 6$, $b = 8$, $c = 10$, entonces $[ABC] = \frac{6 \cdot 8 \cdot 10}{4 \cdot 5} = \frac{480}{20} = 24$.

Problema resuelto: aplicación olímpica de la ley de los senos

Problema (estilo IbAm): Sea $\triangle ABC$ con circuncircunferencia $\Omega$ de radio $R$. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$. Demuestra que $AD = b\sin C = c\sin B$ y que $AD = \frac{bc}{2R} \cdot \frac{1}{\sin A} \cdot \sin A = \frac{bc\sin A}{2R} \cdot \frac{1}{\sin A}$... La forma correcta: $AD = b\sin C = c\sin B$, y usando la ley de los senos, $b = 2R\sin B$ y $c = 2R\sin C$, luego $AD = 2R\sin B \cdot \sin C$.

Demostración: En $\triangle ABD$ (rectángulo en $D$), $\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{AD}{c}$, así $AD = c\sin B$. En $\triangle ACD$ (rectángulo en $D$), $\sin C = \frac{AD}{AC} = \frac{AD}{b}$, así $AD = b\sin C$. Por la ley de los senos, $b = 2R\sin B$ y $c = 2R\sin C$. Sustituyendo: $AD = c\sin B = 2R\sin C \cdot \sin B$. Así, $AD = 2R\sin B\sin C$.

Consecuencia olímpica: si $AD = R$, entonces $2\sin B\sin C = 1$, es decir $\cos(B - C) - \cos(B + C) = 1$. Como $B + C = 180° - A$, $\cos(B + C) = -\cos A$. Luego $\cos(B - C) + \cos A = 1$. Esta condición define una curva en el espacio de triángulos; si además el triángulo es isósceles ($B = C$), da $1 + \cos A = 1$, es decir $\cos A = 0$, así $A = 90°$ y el triángulo es rectángulo isósceles. Verificación: en el triángulo rectángulo isósceles con catetos $1$, $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $AD = \frac{1}{\sqrt{2}} = R$. ✓