El teorema de Ptolomeo y la desigualdad de Ptolomeo

Enunciado del teorema de Ptolomeo

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico (inscrito en una circunferencia). Entonces el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos:

$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC.$

Esta igualdad es notable porque relaciona seis longitudes (cuatro lados y dos diagonales) en una sola ecuación. Para un cuadrilátero no cíclico, siempre se cumple la desigualdad estricta $AC \cdot BD < AB \cdot CD + AD \cdot BC$ (o una de sus permutaciones), con igualdad exactamente cuando $ABCD$ es cíclico.

El teorema tiene nombre propio porque Ptolomeo lo usó en el siglo II d.C. para construir su tabla de cuerdas (el precursor de las tablas trigonométricas). Las aplicaciones modernas van desde identidades de suma de ángulos hasta la resolución de problemas olímpicos de distancias en polígonos inscritos.

Demostración por semejanza espiral

Construcción auxiliar: sea $P$ el punto en la diagonal $AC$ tal que $\angle ABP = \angle DBC$ (equivalentemente, construimos $P$ sobre $AC$ con la propiedad de que la semejanza espiral centrada en $B$ que lleva $\overrightarrow{BA}$ a $\overrightarrow{BD}$ también lleva $\overrightarrow{BP}$ a $\overrightarrow{BC}$).

Formalmente: sea $P$ en $AC$ tal que $\angle ABP = \angle DBC$ y $\angle BAP = \angle BDC$ (los ángulos en $A$ y $D$ son iguales porque subtienden el mismo arco $BC$ en la circunferencia, ya que $ABCD$ es cíclico). Por criterio $AA$, $\triangle ABP \sim \triangle DBC$ (en ese orden de vértices). Luego:

$\frac{AB}{DB} = \frac{AP}{DC} = \frac{BP}{BC},$

de donde $AP \cdot DB = AB \cdot DC$ ... (i).

Ahora consideramos el triángulo $\triangle ABD$ y el triángulo $\triangle PBC$. Como $\angle ABP = \angle DBC$ (por construcción), sumando $\angle PBD$ a ambos lados: $\angle ABD = \angle PBC$. Además, $\frac{AB}{PB} = \frac{DB}{CB}$ (de la semejanza anterior). Por criterio $SAS$, $\triangle ABD \sim \triangle PBC$. Luego:

$\frac{AD}{PC} = \frac{AB}{PB},$

de donde $AD \cdot PB = PC \cdot AB$, y usando la relación anterior $\frac{AB}{PB} = \frac{DB}{CB}$: $PC \cdot DB = AD \cdot CB$ ... (ii).

Sumando (i) e (ii): $AP \cdot DB + PC \cdot DB = AB \cdot DC + AD \cdot CB$, es decir $(AP + PC) \cdot DB = AB \cdot CD + AD \cdot BC$. Como $P$ está sobre $AC$, $AP + PC = AC$. Luego $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$. $\blacksquare$

La desigualdad de Ptolomeo para cuadriláteros no cíclicos

Para cualquier cuatro puntos $A$, $B$, $C$, $D$ en el plano (no necesariamente concíclicos), vale la desigualdad de Ptolomeo:

$AC \cdot BD \leq AB \cdot CD + AD \cdot BC,$

con igualdad si y solo si $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico convexo (los cuatro puntos están en una misma circunferencia y en el orden $A$, $B$, $C$, $D$).

Demostración de la desigualdad: se aplica la inversión $\iota$ de centro $A$ y radio $r$. La inversión lleva $B \to B'$, $C \to C'$, $D \to D'$. La imagen de la circunferencia por $A$ (si existe) se transforma en una recta. Si $ABCD$ es cíclico, $B'$, $C'$, $D'$ son colineales (la imagen del círculo es una recta que no pasa por $A$). Para tres puntos colineales $B'$, $C'$, $D'$, la desigualdad triangular da $B'D' \leq B'C' + C'D'$ (con igualdad cuando $C'$ está entre $B'$ y $D'$). Traduciendo de vuelta con la inversión (usando la fórmula de inversión de distancias: $|B'C'| = \frac{r^2 |BC|}{|AB| \cdot |AC|}$), se obtiene exactamente la desigualdad de Ptolomeo. La igualdad ocurre cuando $C'$ está entre $B'$ y $D'$, lo que corresponde exactamente al caso cíclico convexo.

Aplicación inmediata: la desigualdad de Ptolomeo permite demostrar que cuatro puntos NO son concíclicos: si se calcula $AC \cdot BD$ y $AB \cdot CD + AD \cdot BC$ y son distintos, los cuatro puntos no están en un círculo.

Aplicaciones: identidades de distancias en polígonos inscritos

La aplicación más clásica de Ptolomeo es la derivación de la fórmula de suma de ángulos. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico en la circunferencia unitaria ($R = 1$) con $A = e^{i\cdot 0}$, $B = e^{i\alpha}$, $C = e^{i(\alpha+\beta)}$, $D = e^{i(\alpha+\beta+\gamma)}$. Entonces los lados y diagonales son cuerdas del círculo unitario, y la ley de los senos da $|AB| = 2\sin(\alpha/2)$, etc. Aplicando Ptolomeo en el cuadrilátero $ABCD$ se obtienen identidades trigonométricas.

Caso clásico: sea $ABCP$ un cuadrilátero cíclico con $P$ en el arco $BC$ (sin $A$). El teorema de Ptolomeo da $AP \cdot BC = AB \cdot PC + AC \cdot BP$. Si $BC$ es un diámetro, la expresión simplifica y da relaciones entre $\sin$ y $\cos$ del ángulo central.

**Identidad de la suma $\sin(\alpha + \beta)$**: inscribo en el círculo unitario los puntos $A = (1, 0)$, $B = (\cos\alpha, \sin\alpha)$, $C = (\cos(\alpha+\beta), \sin(\alpha+\beta))$, $D = (-1, 0)$ (el antipodal de $A$). El cuadrilátero $ABCD$ es cíclico. Aplicando Ptolomeo: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$. Calculando cada cuerda con la fórmula $|PQ| = 2\sin(\angle POQ / 2)$ y simplificando, se obtiene $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. Esto muestra que el teorema de Ptolomeo es la generalización geométrica de la fórmula de suma de senos.

Problema resuelto olímpico con Ptolomeo

Problema: Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB = AD$ (es isósceles respecto de la diagonal $AC$). Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Demuestra que $BP \cdot DP = AP \cdot CP$.

Solución: como $ABCD$ es cíclico con $AB = AD$, el vértice $A$ equidista de $B$ y $D$ sobre la circunferencia, así el arco $AB$ = arco $AD$ y el eje de simetría de $ABCD$ pasa por $A$, por el centro $O$ y por el punto medio del arco $BCD$. Por la simetría, $AB = AD$ y $CB = CD$.

Aplicamos Ptolomeo en $ABCD$: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC = AB \cdot CD + AB \cdot BC = AB(BC + CD)$. Por el teorema de la potencia del punto $P$: como $P$ es el punto de intersección de las diagonales de un cuadrilátero cíclico, $AP \cdot CP = BP \cdot DP$ (potencia de $P$ respecto de la circuncircunferencia). Esta es exactamente la afirmación que se quería demostrar.

Verificación: la igualdad $AP \cdot CP = BP \cdot DP$ es la potencia del punto interior $P$ respecto del círculo: si $ABCD$ es cíclico y $P = AC \cap BD$, entonces $PA \cdot PC = PB \cdot PD$ (esto vale para cualquier cuadrilátero cíclico, no solo para el isósceles). La condición $AB = AD$ era una pista para identificar la simetría pero la afirmación es general. La demostración directa sin simetría: por los triángulos semejantes $\triangle PAB \sim \triangle PCD$ (ángulos iguales por ángulos inscritos en el mismo arco), $\frac{PA}{PC} = \frac{PB}{PD}$, luego $PA \cdot PD = PC \cdot PB$, es decir $AP \cdot DP = BP \cdot CP$. Reordenando: $BP \cdot DP = AP \cdot CP$. $\blacksquare$