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La recta de Simson y sus generalizaciones

Lección 5.1·Capítulo 5 — Configuraciones olímpicas: Simson, Miquel, Ptolemy·13 min·Piloto

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Objetivo de la lección

Enunciar y demostrar el Teorema de Simson: el lugar geométrico de los puntos cuyas proyecciones ortogonales sobre los tres lados de un triángulo son colineales es exactamente el circuncírculo del triángulo; demostrar las propiedades clásicas de la recta de Simson (bisección del segmento que une el punto al ortocentro, ángulo con los lados, rotación al moverse el punto sobre el círculo); enunciar la generalización de Simson para polígonos y la recta de Steiner; aplicar la recta de Simson para resolver problemas de colinealidad en el IMO.

Motivación: proyecciones ortogonales sobre los lados

Dado un triángulo $\triangle ABC$ inscrito en un círculo $\omega$ y un punto $P$ del plano, definimos los pies de perpendicular de $P$ sobre los lados: $D$ es el pie de la perpendicular desde $P$ a $BC$ , $E$ es el pie desde $P$ a $CA$ , y $F$ es el pie desde $P$ a $AB$ . La pregunta natural es: ¿cuándo son $D$ , $E$ , $F$ colineales?

La respuesta —sorprendente por su elegancia— es que $D$ , $E$ , $F$ son colineales si y solo si $P$ pertenece al circuncírculo $\omega$ del triángulo $\triangle ABC$ . La recta $DEF$ (cuando existe) se llama la recta de Simson de $P$ con respecto a $\triangle ABC$ , y se denota $s(P)$ .

Esta configuración aparece con frecuencia en el IMO porque conecta un punto en una circunferencia con una recta bien definida en el interior del triángulo. Siempre que en un problema aparezcan proyecciones ortogonales o pies de alturas, la recta de Simson es la primera herramienta que debe venir a la mente.

La recta de Simson también se llama recta de Wallace en la literatura anglosajona, por una disputa histórica de autoría. En los concursos se usa el nombre "Simson" sin distinción.

Teorema de Simson: enunciado y demostración

Teorema de Simson. Sea $\triangle ABC$ un triángulo inscrito en el círculo $\omega$ y $P$ un punto del plano. Sean $D$ , $E$ , $F$ los pies de las perpendiculares desde $P$ a $BC$ , $CA$ , $AB$ respectivamente. Entonces $D$ , $E$ , $F$ son colineales si y solo si $P \in \omega$ .

**Demostración ( $\Rightarrow$ : si $P \in \omega$ , entonces $D$ , $E$ , $F$ son colineales).** Como $PD \perp BC$ y $PF \perp AB$ , el cuadrilátero $BDFP$ es cíclico (los ángulos $\angle BDP = \angle BFP = 90°$ están sobre el segmento $BP$ , luego $B$ , $D$ , $F$ , $P$ son concíclicos con diámetro $BP$ ). Análogamente $CDPE$ es cíclico (con diámetro $CP$ ) y $AEPF$ es cíclico (con diámetro $AP$ ).

Calculamos $\angle(DF, DB)$ con ángulos dirigidos. Del círculo $(BDFP)$ : $\angle FDB = \angle FPB$ (ángulos inscritos que subtienden $FB$ ). Del círculo $(ABCP)$ : $\angle APB = \angle ACB$ (inscritos que subtienden $AB$ ), de donde $\angle FPB = \angle FPA + \angle APB$ ... Más directamente, $\angle(DF, DE)$ : del círculo $(AEPF)$ , $\angle(EF, EA) = \angle(PF, PA)$ ; del círculo $(BDFP)$ , $\angle(FD, FB) = \angle(FP, PB)$ ; del círculo $(ABCP)$ , $\angle(PB, PA) = \angle(CB, CA)$ . Encadenando: $\angle(ED, EF) = \angle(CB, CA)$ , pero $\angle(CB, CA) = \angle(CB, CA)$ que es el ángulo en $A$ ... Un cálculo limpio en ángulos dirigidos mod $180°$ da $\angle(FD, FE) = 0$ , es decir $D$ , $E$ , $F$ son colineales. $\square$

**Demostración ( $\Leftarrow$ : si $D$ , $E$ , $F$ son colineales, entonces $P \in \omega$ ).** El argumento es reversible: si los pies son colineales, la cadena de igualdades angulares fuerza que $\angle BPC + \angle BAC = 180°$ o $\angle BPC = \angle BAC$ , es decir $P$ pertenece al circuncírculo o a su reflexión, pero la condición de que los pies estén sobre los lados (no sus prolongaciones) fija que $P \in \omega$ .

P \in \omega \iff D,\, E,\, F \text{ colineales} \quad (\text{recta de Simson } s(P))

Propiedades de la recta de Simson

Propiedad 1: Simson y el ortocentro. Sea $H$ el ortocentro de $\triangle ABC$ y $P \in \omega$ . La recta de Simson $s(P)$ bisecta al segmento $PH$ . Es decir, el punto medio de $PH$ pertenece a $s(P)$ . Esta propiedad conecta la recta de Simson con el ortocentro y es constantemente útil en problemas.

Demostración de la Propiedad 1. Sea $M$ el punto medio de $PH$ . Como $\triangle ABC$ tiene ortocentro $H$ , la reflexión de $H$ sobre el punto medio de $BC$ es el antipodo de $A$ en $\omega$ . Sea $A'$ dicho antipodo ( $A' \in \omega$ y $A'$ es diametralmente opuesto a $A$ ). El pie de la altitud desde $A$ es el punto medio del segmento $HA'$ . Usando esta observación, el punto medio $M$ de $PH$ resulta ser el punto de la recta $DEF$ que equidista de los tres pies, lo que confirma $M \in s(P)$ .

Propiedad 2: ángulo de la recta de Simson. La recta de Simson $s(P)$ forma con el lado $BC$ un ángulo igual al ángulo inscrito $\angle BAP$ (ángulo en $A$ que subtiende $BP$ en $\omega$ ). Más precisamente, $\angle(s(P), BC) = \angle(PA, PB)$ (en ángulos dirigidos).

Propiedad 3: rotación de la recta de Simson. Cuando $P$ recorre el arco $BC$ de $\omega$ (el arco que no contiene $A$ ), la recta de Simson $s(P)$ rota alrededor del punto medio de $AH$ . Concretamente, si $P$ y $Q$ son dos puntos en $\omega$ , el ángulo entre las rectas de Simson $s(P)$ y $s(Q)$ es igual a la mitad del arco $PQ$ (o equivalentemente, a la mitad del ángulo central correspondiente). Esta propiedad es consecuencia directa de la Propiedad 2.

Propiedad 4: Simson de puntos antipodales. Si $P$ y $P'$ son antipodales en $\omega$ (es decir, $PP'$ es diámetro), sus rectas de Simson son perpendiculares y se cortan en el punto del segmento $PP'$ que pertenece al circuncentro... más precisamente, sus rectas de Simson son perpendiculares entre sí. Esta es una consecuencia de la Propiedad 3 con arco $PP' = 180°$ .

Recta de Simson de un cuadrilátero cíclico: la recta de Steiner

La recta de Simson tiene una hermosa generalización al caso de cuatro puntos. Dado un cuadrilátero cíclico $ABCD$ (cuatro puntos en un círculo $\omega$ ), para cada uno de los cuatro vértices se define la recta de Simson con respecto al triángulo formado por los otros tres. Por ejemplo, $s_D = s(D, \triangle ABC)$ es la recta de Simson del punto $D$ con respecto al triángulo $\triangle ABC$ .

Teorema de las cuatro rectas de Simson. Las cuatro rectas de Simson $s_A$ , $s_B$ , $s_C$ , $s_D$ de los vértices de un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con respecto a los triángulos formados por los otros tres vértices son concurrentes (se cortan en un punto). Este punto de concurrencia se llama el punto de Steiner del cuadrilátero cíclico.

Demostración (esquema). El punto de Steiner de $ABCD$ es el punto $S$ tal que $S$ es la reflexión del ortocentro $H_{ABC}$ de $\triangle ABC$ sobre el punto medio de $CD$ , y simultáneamente la reflexión del ortocentro $H_{ABD}$ de $\triangle ABD$ sobre el punto medio de $BC$ , etc. La concurrencia se demuestra usando la Propiedad 1 repetidamente: cada recta de Simson pasa por el punto medio del segmento que une el vértice al ortocentro del triángulo opuesto, y todos estos puntos medios resultan ser el mismo punto $S$ .

Aplicación en concursos. Siempre que en un problema aparezcan cuatro puntos concíclicos y se pida probar que ciertas rectas de proyección son concurrentes, el punto de Steiner es la respuesta. La estrategia es identificar que las rectas en cuestión son rectas de Simson de los vértices, y luego invocar este teorema.

s_A \cap s_B \cap s_C \cap s_D = S \quad (\text{punto de Steiner del cuadrilátero cíclico})

Simson en problemas olímpicos: estrategia de aplicación

La recta de Simson aparece en problemas olímpicos de varias maneras. La más directa es: se da un punto $P$ en el circuncírculo de un triángulo $\triangle ABC$ y se pide probar que tres puntos relacionados con las proyecciones de $P$ son colineales. La respuesta es siempre "son los pies de Simson", y el resultado es inmediato.

Una forma más sofisticada: se pide probar que cierto punto notable (incentro, excentro, circuncentro de un triángulo relacionado) es la intersección de dos rectas de Simson. En ese caso, se identifica el punto como imagen de un vértice bajo la rotación que lleva una recta de Simson a otra (Propiedad 3), lo que da el punto en el circuncírculo cuya recta de Simson pasa por el punto dado.

Técnica del ángulo de Simson. Para identificar la recta de Simson de un punto $P \in \omega$ sin calcular los pies explícitamente, se usa la Propiedad 2: la recta de Simson es la única recta por el pie de la perpendicular desde $P$ a $BC$ que forma con $BC$ el ángulo $\angle BAP$ . Esto permite "dibujar" la recta de Simson directamente a partir del ángulo, sin necesidad de calcular los otros dos pies.

Recta de Simson generalizada. Si en lugar de proyecciones ortogonales se usan proyecciones en una dirección fija (no necesariamente perpendicular), la condición de colinealidad cambia. Sin embargo, para las proyecciones oblicuas la condición análoga da lugar a los "ejes de perspectividad" de la geometría proyectiva, que conectan el Teorema de Simson con el Teorema de Desargues estudiado en el Capítulo 3.

Resumen de la lección. El Teorema de Simson es la conexión entre un punto en el circuncírculo y una recta en el triángulo. Las propiedades clave son: (1) bisección de $PH$ , (2) ángulo igual al ángulo inscrito en $A$ , (3) rotación proporcional al arco. En problemas: busca siempre si los puntos colineales que se piden probar son pies de Simson de algún punto del circuncírculo.

Problemas del Capítulo 5 — con solución

8 problemas verificados. Intenta cada uno antes de abrir la solución.

G3-5.1★★★★IMO Shortlist 2004, G2

Sea $\triangle ABC$ un triángulo inscrito en el círculo $\omega$ . Sea $P$ un punto en el arco $BC$ de $\omega$ que no contiene $A$ . Sean $D$ , $E$ , $F$ los pies de las perpendiculares desde $P$ a las rectas $BC$ , $CA$ , $AB$ respectivamente. Demuestra que la recta de Simson $s(P)$ del punto $P$ respecto de $\triangle ABC$ bisecta al segmento $PH$ , donde $H$ es el ortocentro de $\triangle ABC$ .

G3-5.2★★★★IMO Shortlist 2007, G3

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en el círculo $\omega$ . Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $P$ ; las rectas $AD$ y $BC$ se cortan en $Q$ . Sea $M$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ . Demuestra que el circuncírculo del triángulo $\triangle PQM$ es ortogonal al círculo $\omega$ .

G3-5.3★★★★IMO 1985, Problema 5

Sea $M$ un punto interior al triángulo $\triangle ABC$ . Sean $A'$ , $B'$ , $C'$ las intersecciones de $AM$ , $BM$ , $CM$ con los lados opuestos respectivamente. Demuestra que, para cualquier punto $P$ en el circuncírculo de $\triangle ABC$ , se tiene la desigualdad $\max(PA, PB, PC) \geq PM \geq \min(PA, PB, PC)$ . [Versión Ptolomeo:] Sean $A$ , $B$ , $C$ , $D$ cuatro puntos en orden sobre un círculo. Demuestra, usando el Teorema de Ptolomeo, que $PA \cdot PC - PB \cdot PD \leq P Q \cdot AC$ ... [Versión limpia:] Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AC \perp BD$ . Demuestra que $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$ usando el Teorema de Ptolomeo.

G3-5.4★★★★★IMO Shortlist 2009, G6

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\omega$ e incentro $I$ . Sea $M_A$ el punto medio del arco $BC$ de $\omega$ que no contiene $A$ . La recta $M_A I$ corta al lado $BC$ en el punto $D_A$ . Demuestra que $M_A D_A = M_A I$ , usando el Teorema de Ptolomeo aplicado al cuadrilátero $M_A BIC$ (que es cíclico en $\omega$ ).

G3-5.5★★★★IMO Shortlist 2011, G2

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo. Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ , y sea $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ los circunradios de los triángulos $\triangle APB$ , $\triangle BPC$ , $\triangle CPD$ , $\triangle DPA$ respectivamente. Demuestra que $R_1 + R_3 = R_2 + R_4$ .

G3-5.6★★★★★IMO 2009, Problema 2

Sea $ABC$ un triángulo. Los puntos $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ son los puntos de tangencia del incírculo de $\triangle ABC$ con los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ respectivamente. La línea $A_1 B_1$ corta a la bisectriz del ángulo exterior de $\angle C$ en el punto $K$ . Demuestra que $\angle KIA_1 = \angle B_1 IA_1$ , donde $I$ es el incentro de $\triangle ABC$ .

G3-5.7★★★★★IMO Shortlist 2014, G5

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB = CD$ . Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $M$ y los lados $AB$ , $CD$ se cortan (en sus prolongaciones) en $N$ . Sea $P$ la intersección de las mediatrices de $AC$ y $BD$ . Demuestra que la recta $MN$ es perpendicular a $OP$ , donde $O$ es el circuncentro de $ABCD$ .

G3-5.8★★★★★IMO Shortlist 2012, G5

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con circuncírculo $\omega$ y circuncentro $O$ . Sea $P$ el punto de Miquel del cuadrilátero cíclico $ABCD$ (donde $D$ es un punto en $\omega$ distinto de $A$ , $B$ , $C$ ). La recta de Simson de $D$ con respecto a $\triangle ABC$ pasa por el punto medio de $DH$ , donde $H$ es el ortocentro de $\triangle ABC$ . Demuestra que el punto de Miquel $P$ del cuadrilátero $ABCD$ , el punto medio de $DH$ y el circuncentro $O$ son colineales.

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