Cómo escribir una solución olímpica de geometría

Por qué importa cómo escribes

En el IMO, una solución correcta pero mal escrita puede recibir menos puntos que una solución incompleta pero bien estructurada. Los criterios de corrección del IMO valoran la claridad lógica tanto como la corrección matemática.

En geometría en particular, la mala redacción produce dos tipos de errores: errores de notación (usar el mismo símbolo para dos puntos diferentes, no distinguir entre un segmento y su longitud) y errores de justificación (dar un paso sin justificar por qué es cierto, o citar un teorema sin verificar que las hipótesis se cumplen).

Esta lección presenta el estándar de redacción que los mejores estudiantes del IMO utilizan. No es un estándar de estilo — no hay una única forma correcta de escribir. Es un estándar de completitud lógica.

Estructura de una solución de geometría

Parte 1: Setup (configuración). Presenta todos los objetos geométricos del enunciado con notación clara. Define los puntos y círculos que vas a introducir como auxiliares. Un setup bien escrito permite al corrector seguir la solución sin necesidad de releer el enunciado.

Ejemplo de setup correcto: "Sea $\omega$ el circuncírculo de $\triangle ABC$ y $O$ su circuncentro. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $H$ el ortocentro de $\triangle ABC$. Definamos $D$ como la segunda intersección de la recta $AH$ con $\omega$ (es decir, el antipodal de la reflexión de $H$ sobre $M$)."

Parte 2: lemas auxiliares. Si la solución depende de un resultado que no es un teorema estándar conocido por todos, enúncialo como un lema y demuéstralo antes de usarlo. Un lema bien enunciado hace la solución más modular y más fácil de verificar.

Parte 3: argumento principal. El argumento que resuelve el problema. Debe estar estructurado en pasos numerados o en párrafos claramente delimitados. Cada paso debe terminar con una afirmación (no con un cálculo inconcluso).

Parte 4: conclusión. Una línea que establece que el argumento anterior prueba exactamente lo que el enunciado pide. No debe haber ambigüedad: "Por tanto, $P$, $Q$, $R$ son colineales, que es lo que había que probar. $\square$"

Notación y justificación de cada paso

Notación de ángulos. Usa siempre $\angle ABC$ para el ángulo en $B$ del triángulo con vértices $A$, $B$, $C$ (el ángulo visto desde $B$, entre los rayos $BA$ y $BC$). Para ángulos dirigidos mod $180°$, usa la notación $\measuredangle ABC$ y avisa explícitamente al comienzo de la solución que trabajas con ángulos dirigidos.

Justificación de concicilidad. Cuando afirmes que cuatro puntos $A$, $B$, $C$, $D$ son concíclicos, da la razón: "$A$, $B$, $C$, $D$ son concíclicos porque $\angle BAC = \angle BDC$ (ambos subtienden el arco $BC$ del círculo $\omega$)" o "$A$, $B$, $C$, $D$ son concíclicos porque $\angle ABD + \angle ACD = 180°$". No escribas simplemente "son concíclicos" sin justificación.

Justificación de colinealidad. Cuando afirmes que tres puntos son colineales, da el argumento: "por el Teorema de Menelao aplicado al triángulo $\triangle PQR$ y la transversal $\ell$", o "porque los tres puntos tienen el mismo afijo imaginario" (si trabajas en coordenadas complejas), o "porque el determinante de sus coordenadas es cero".

Ángulos dirigidos: cuándo y cómo usarlos. Los ángulos dirigidos mod $180°$ permiten argumentos que son válidos independientemente de la posición relativa de los puntos (si $P$ está en el arco mayor o menor, etc.). Úsalos cuando el problema tiene casos que dependen de la configuración. Cuando los uses, avisar al inicio: "Todos los ángulos son dirigidos módulo $180°$." Y nunca mezcles ángulos dirigidos y no dirigidos en el mismo argumento.

Redacción de argumentos de coordenadas

Los argumentos de coordenadas en geometría olímpica tienen un estándar de redacción específico. El corrector necesita poder verificar el cálculo sin repetirlo completo; para eso, la solución debe presentar las fórmulas clave con suficiente detalle para que el error, si lo hubiera, sea localizable.

Estándar para coordenadas complejas. (1) Establece que el círculo es el círculo unitario y define las variables: "sea $|a|=|b|=|c|=1$". (2) Da la fórmula del punto que introduces: "el punto $P$ es la segunda intersección de los circuncírculos de $\triangle ABX$ y $\triangle CDY$; en el círculo unitario, esto da $p = \frac{...}{...}$". (3) Para la colinealidad o igualdad final, escribe el cociente o la diferencia y verifica que es real (o cero): "$\frac{q-p}{r-p} = \frac{...}{...} \in \mathbb{R}$ porque el numerador y el denominador son conjugados escalados entre sí".

Estándar para coordenadas baricéntricas. (1) Define el triángulo de referencia y las coordenadas de los puntos estándar. (2) Para cada punto que introduces, da sus coordenadas baricéntricas (posiblemente en términos de $a$, $b$, $c$ o $\sin A$, $\sin B$, $\sin C$). (3) Para concurrencia, usa el criterio del determinante $3 \times 3$. Para colinealidad, usa Menelao en baricéntricas.

Qué no hacer. No escribas "por cálculo directo, se obtiene $P = ...$" sin dar al menos los pasos intermedios clave. Si el cálculo es largo, presenta un esquema: "definimos $f = e_1(a,b,c,d) = ab+ac+...$, $g = e_2(a,b,c,d) = ...$, y el punto buscado es $p = f/g$; verificamos que $p$ es real observando que $\bar{f}/\bar{g} = f/g$ dado que $|a|=|b|=|c|=|d|=1$".

Los cinco errores más comunes de redacción

Error 1: afirmar sin justificar. "Claramente $P$, $Q$, $R$ son colineales" sin dar la razón. En geometría olímpica, nada es "claro" a menos que sea consecuencia directa de una definición o de un teorema citado.

Error 2: confundir un objeto con su medida. Escribir "$AB = \angle ACB$" mezclando una longitud y un ángulo. O escribir "$\omega = R$" confundiendo el círculo con su radio.

Error 3: el argumento depende de la figura. "Como se ve en la figura, $P$ está dentro del círculo". Las soluciones del IMO deben ser válidas sin referencia a la figura. Si el argumento depende de si un punto está dentro o fuera de un círculo, debes tratar ambos casos.

Error 4: citar un teorema sin verificar las hipótesis. "Por el Teorema de Miquel, los cuatro puntos son concíclicos" sin verificar que la configuración es efectivamente un cuadrilátero completo (que ninguna de las cuatro rectas es paralela a otra, que no hay tres rectas concurrentes).

Error 5: la conclusión no es exactamente lo que se pedía. "Hemos demostrado que $\angle XYZ = \angle ABC$" cuando el problema pedía demostrar "$\angle XYZ = 2 \angle ABC$". Lee el enunciado de nuevo antes de escribir la conclusión.