La transformación de Möbius y sus propiedades olímpicas

Definición y primeras propiedades

Una transformación de Möbius (o fracción lineal) es una función $f: \mathbb{C} \cup \{\infty\} \to \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ de la forma $f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$, donde $a, b, c, d \in \mathbb{C}$ y $ad - bc \neq 0$. La condición $ad - bc \neq 0$ garantiza que $f$ no sea constante.

Toda transformación de Möbius es una biyección de la esfera de Riemann $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ en sí misma. Su inversa es también una transformación de Möbius: $f^{-1}(w) = \frac{dw - b}{-cw + a}$. La composición de dos transformaciones de Möbius es nuevamente una transformación de Möbius, de modo que forman un grupo (el grupo de Möbius o $\text{PSL}(2, \mathbb{C})$).

La propiedad más importante para olimpiadas es la siguiente: una transformación de Möbius mapea círculos generalizados en círculos generalizados, donde por "círculo generalizado" entendemos tanto círculos ordinarios del plano como rectas (que se consideran círculos que pasan por $\infty$). En particular, una recta puede transformarse en un círculo y viceversa, lo que es la herramienta de simplificación principal.

Las transformaciones de Möbius están determinadas por tres pares imagen: dados tres puntos distintos $z_1, z_2, z_3 \in \hat{\mathbb{C}}$ y tres imágenes distintas $w_1, w_2, w_3 \in \hat{\mathbb{C}}$, existe una única transformación de Möbius $f$ tal que $f(z_k) = w_k$ para $k = 1, 2, 3$. Esto es análogo a la determinación de una proyectividad en geometría proyectiva.

La razón doble y su invarianza

La razón doble (o razón anarmónica) de cuatro puntos distintos $z_1, z_2, z_3, z_4 \in \hat{\mathbb{C}}$ se define como $(z_1, z_2; z_3, z_4) = \frac{(z_1 - z_3)(z_2 - z_4)}{(z_1 - z_4)(z_2 - z_3)}$. Este número es siempre un elemento de $\hat{\mathbb{C}} \setminus \{0, 1, \infty\}$ cuando los cuatro puntos son distintos.

Teorema fundamental: las transformaciones de Möbius preservan la razón doble. Es decir, si $f$ es una transformación de Möbius y $w_k = f(z_k)$, entonces $(w_1, w_2; w_3, w_4) = (z_1, z_2; z_3, z_4)$. Esta invarianza es la razón por la que la razón doble aparece constantemente en olimpiadas: si queremos probar que cuatro puntos tienen cierta razón doble, podemos aplicar una Möbius que simplifique la configuración y calcular la razón doble en la imagen.

La razón doble es real si y solo si los cuatro puntos son concíclicos (o colineales, en la versión degenerad). Más precisamente, $(z_1, z_2; z_3, z_4) \in \mathbb{R}$ si y solo si $z_1, z_2, z_3, z_4$ están en un círculo generalizado. Esta caracterización da un criterio analítico potente para la concicilidad.

La razón doble vale $-1$ cuando los cuatro puntos forman un cuádruplo armónico: $z_3$ y $z_4$ son conjugados armónicos respecto del par $\{z_1, z_2\}$. Esta situación aparece en los polos y polares de una circunferencia y en la construcción del cuadrilátero completo.

Cómo usar Möbius para simplificar configuraciones

La estrategia olímpica consiste en elegir una transformación de Möbius que lleve la configuración original a una configuración estándar más simple. Los pasos son: (1) identificar qué círculos o rectas de la configuración son los más complicados, (2) elegir una Möbius que los convierta en objetos más simples (rectas, círculos concéntricos, etc.), (3) resolver el problema en la configuración simplificada, (4) traducir la conclusión de vuelta.

Caso 1: simplificar tres círculos tangentes entre sí. Si tenemos tres círculos mutuamente tangentes, podemos aplicar una inversión (que es un caso particular de transformación de Möbius compuesta con conjugación) centrada en el punto de tangencia de dos de ellos. Esos dos círculos se convierten en dos rectas paralelas, y el tercer círculo queda entre ellas como un círculo tangente a ambas rectas. Esta es la configuración estándar del Problema de Apolonio.

Caso 2: convertir dos círculos en círculos concéntricos. Dados dos círculos no concéntricos sin relación de tangencia, existe una única transformación de Möbius que los convierte en dos círculos concéntricos. Los centros de homotecia de los dos círculos originales son puntos especiales respecto a esta Möbius. Una vez que los dos círculos son concéntricos, las rotaciones (que también son Möbius) simplifican aún más el problema.

Caso 3: llevar tres puntos a posiciones estándar. Si en una configuración hay tres puntos clave $A$, $B$, $C$, aplicamos la Möbius que lleva $A \mapsto 0$, $B \mapsto 1$, $C \mapsto \infty$ (que existe y es única). En la imagen, el "círculo por $A$, $B$, $C$" se convierte en la recta real $\mathbb{R}$, y toda la configuración se simplifica algebraicamente.

Advertencia: la transformación de Möbius preserva ángulos (es conforme), pero no preserva distancias ni áreas. Por tanto, no se puede usar directamente para probar igualdades de longitudes o áreas; sí se puede usar para probar concicilidades, colinealidades, tangencias y relaciones angulares.

Ejemplo olímpico resuelto: tres círculos y una tangencia común

Problema (estilo ISL G5): Sean $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ tres círculos mutuamente tangentes exteriormente, con puntos de tangencia $T_{12} = \omega_1 \cap \omega_2$, $T_{13} = \omega_1 \cap \omega_3$, $T_{23} = \omega_2 \cap \omega_3$. Sea $\ell$ la recta que pasa por $T_{12}$ y $T_{13}$. Demuestra que $\ell$ también pasa por $T_{23}$, o bien determina la configuración correcta.

Solución por Möbius: aplicamos la inversión $\iota$ de centro $T_{12}$ (que es un caso especial de Möbius). Bajo $\iota$: el círculo $\omega_1$ (que pasa por $T_{12}$) se convierte en una recta $\ell_1$; el círculo $\omega_2$ (que también pasa por $T_{12}$) se convierte en una recta $\ell_2$. Como $\omega_1$ y $\omega_2$ son tangentes en $T_{12}$, las rectas $\ell_1$ y $\ell_2$ son paralelas (dos círculos tangentes en el centro de inversión se convierten en rectas paralelas). El círculo $\omega_3$ no pasa por $T_{12}$, así que se convierte en otro círculo $\omega_3'$ que es tangente a $\ell_1$ y a $\ell_2$ (pues la tangencia se preserva).

En la configuración imagen: $\ell_1 \parallel \ell_2$ y $\omega_3'$ es tangente a ambas. El punto $T_{13}'= \iota(T_{13})$ es el punto de tangencia de $\omega_3'$ con $\ell_1$, y $T_{23}' = \iota(T_{23})$ es el punto de tangencia de $\omega_3'$ con $\ell_2$. La recta $T_{13}'T_{23}'$ es perpendicular a $\ell_1$ y a $\ell_2$ (pues pasa por el centro de $\omega_3'$ y los puntos de tangencia están exactamente encima y debajo). Por tanto $T_{13}'$, centro de $\omega_3'$, y $T_{23}'$ son colineales en una recta perpendicular a $\ell_1 \parallel \ell_2$.

Regresando: la inversión $\iota$ lleva $T_{13}$ a $T_{13}'$ y $T_{23}$ a $T_{23}'$, y lleva el centro de $\omega_3'$ al punto $\iota^{-1}(O_{\omega_3'})$. La colinealidad de $T_{13}'$, $O_{\omega_3'}$, $T_{23}'$ en la imagen se corresponde (vía $\iota^{-1}$) con la concicilidad de $T_{12}$, $T_{13}$, $O_{\omega_3}$, $T_{23}$ en la imagen original (pues la inversión convierte rectas en círculos por el centro), lo cual da la relación geométrica buscada. $\square$