La configuración de Miquel extendida y el punto de Miquel

Teorema de Miquel: la versión del triángulo con cevianas

Teorema de Miquel (versión completa): Sea $\triangle ABC$ un triángulo y sean $D \in BC$, $E \in CA$, $F \in AB$ tres puntos (uno en cada lado, no necesariamente los pies de las cevianas). Entonces los tres circuncírculos $\omega_A =$ circuncírculo de $\triangle AEF$, $\omega_B =$ circuncírculo de $\triangle BFD$, $\omega_C =$ circuncírculo de $\triangle CDE$ son concurrentes en un único punto $M$, llamado el punto de Miquel de la configuración $(\triangle ABC, D, E, F)$.

La demostración es elegante: sea $M$ la segunda intersección de $\omega_A$ y $\omega_B$ (la primera es $F$). Debemos demostrar que $M \in \omega_C$. En $\omega_A$: $\angle EMF = \angle EAF = \angle A$ (ángulos inscritos en $\omega_A$ que subtienden $EF$). En $\omega_B$: $\angle FMD = \angle FBD = \angle B$ (ángulos inscritos en $\omega_B$). Por tanto $\angle EMD = 360° - \angle EMF - \angle FMD - \angle$ (ángulo restante)... Más directamente: $\angle EMD = 360° - \angle EMF - \angle FMD = 360° - \angle A - \angle B = 180° + \angle C$. Pero el ángulo inscrito en $\omega_C$ que subtiende $ED$ desde $C$ es $\angle ECD = \angle C$, y el ángulo suplementario es $180° - \angle C$. La condición de concicilidad de $M$, $D$, $E$, $C$ es $\angle EMD + \angle ECD = 180°$ (ángulos opuestos en un cuadrilátero inscrito), es decir $(180° + \angle C) + \angle C = 180° + 2\angle C$... Usamos ángulos dirigidos: $\measuredangle(MD, ME) = \measuredangle(CD, CE) = \measuredangle(CB, CA) = -\angle C$ en ángulos dirigidos mod $180°$, lo cual da la concicilidad de $M$, $D$, $E$, $C$ con signo correcto. $\square$

El punto de Miquel tiene una descripción alternativa: $M$ es el único punto del plano tal que $\measuredangle(MB, MC) = \measuredangle(DB, DC)$, $\measuredangle(MC, MA) = \measuredangle(EC, EA)$, $\measuredangle(MA, MB) = \measuredangle(FA, FB)$ (en ángulos dirigidos). Estas tres condiciones son exactamente las condiciones de que $M$ está en $\omega_B \cap \omega_C$, $\omega_C \cap \omega_A$, $\omega_A \cap \omega_B$ respectivamente.

La semejanza espiral centrada en el punto de Miquel

El punto de Miquel $M$ no solo es el centro de concurrencia de los tres circuncírculos: es también el centro de una semejanza espiral que mapea cada par de lados del triángulo original en el correspondiente par del triángulo $DEF$.

Teorema: la semejanza espiral centrada en $M$ que lleva $B \mapsto D$ y $C \mapsto E$ también lleva $A \mapsto F$... (con el ángulo de rotación y razón de semejanza apropiados). Más precisamente, existe una semejanza espiral con centro $M$ que lleva $\triangle MBC$ a $\triangle MDE$ (en ese orden de vértices), y existe otra semejanza espiral con centro $M$ que lleva $\triangle MAB$ a $\triangle MFD$, etc. Estas semejanzas spirales capturan la geometría de la configuración de Miquel de forma compacta.

La razón de la semejanza espiral que lleva $\triangle MBC$ a $\triangle MDE$ es $\frac{MD}{MB} = \frac{ME}{MC}$, y el ángulo de rotación es $\angle BMD = \angle CME$. Esto se verifica usando que $M$, $B$, $D$, $F$ son concíclicos (en $\omega_B$), lo cual da $\frac{MD}{MB} = \frac{MF}{MC}$ y $\angle BMD = \angle CMF$ (ángulos inscri tos en $\omega_B$ y $\omega_C$ respectivamente).

En olimpiadas, la semejanza espiral se usa así: si queremos demostrar que dos triángulos son semejantes, buscamos el punto de Miquel de la configuración y verificamos que es el centro de la semejanza espiral que los mapea. O bien, si sabemos que cierto punto es el centro de una semejanza espiral, concluimos que es el punto de Miquel de la configuración correspondiente.

Miquel en el cuadrilátero completo

Teorema de Miquel para el cuadrilátero completo: Sean $\ell_1, \ell_2, \ell_3, \ell_4$ cuatro rectas en posición general. Para cada subconjunto de tres rectas, hay un triángulo formado por ellas y un circuncírculo de ese triángulo. Los cuatro circuncírculos (uno por cada triple de rectas) se cortan en un único punto, el punto de Miquel del cuadrilátero completo.

La demostración es una aplicación iterada del Teorema de Miquel para triángulos. Sean $A_{ij} = \ell_i \cap \ell_j$ los seis puntos de intersección. El triángulo formado por $\ell_1, \ell_2, \ell_3$ tiene vértices $A_{12}, A_{13}, A_{23}$, y su circuncírculo es $\Omega_{123}$. El triángulo formado por $\ell_1, \ell_2, \ell_4$ tiene circuncírculo $\Omega_{124}$. Etc. Los cuatro círculos $\Omega_{123}, \Omega_{124}, \Omega_{134}, \Omega_{234}$ concurren en el punto de Miquel.

El punto de Miquel del cuadrilátero completo tiene una propiedad adicional: pertenece al círculo de los nueve puntos de cada uno de los cuatro triángulos determinados por tres de las cuatro rectas. Esta es una generalización del hecho de que el punto de Miquel de un triángulo con cevianas está relacionado con los circuncírculos de los sub-triángulos.

En olimpiadas, el cuadrilátero completo aparece cuando se tienen cuatro rectas dadas (los lados de un cuadrilátero, o cuatro cevianas, o cuatro tangentes a una cónica). El punto de Miquel es entonces un punto notable de la configuración con múltiples propiedades que se pueden usar para resolver el problema.

El lugar geométrico del punto de Miquel

¿Qué trayectoria sigue el punto de Miquel cuando las cevianas varían? Consideremos la configuración más simple: sea $\triangle ABC$ fijo, $D$ fijo en $BC$, y $E$ variable en $CA$. Para cada $E \in CA$, el punto de Miquel $M(E)$ del triángulo con el punto $D$ y la "tercera ceviana" desde la intersección apropiada describe una curva.

El resultado exacto es el siguiente: si $D$ está fijo en $BC$ y $F$ está fijo en $AB$, entonces el punto de Miquel de $(\triangle ABC, D, E, F)$ varía sobre el círculo circunscrito de $\triangle AEF$... que cambia con $E$. La situación más interesante es: si $D$ y $E$ son fijos y $F$ varía sobre $AB$, el punto de Miquel $M(F)$ describe una circunferencia. Específicamente, $M(F)$ varía sobre el circuncírculo del triángulo formado por $D$, $E$ y el punto de intersección $BC \cap CA = C$... No: el lugar geométrico exacto es el circuncírculo de $\triangle CDE$ (que está fijo pues $C$, $D$, $E$ son fijos). El punto $M$ siempre pertenece al circuncírculo de $\triangle CDE$, y al variar $F$ en $AB$, $M$ recorre ese círculo.

Esta propiedad se usa en olimpiadas para demostrar que un punto pertenece a un determinado círculo: si puede identificarse como el punto de Miquel de una configuración donde uno de los tres circuncírculos es el círculo en cuestión, la concicilidad es automática.

Problema olímpico duro con configuración de Miquel

Problema (IMO Shortlist 2016, G4 adaptado): Sea $\triangle ABC$ un triángulo con circuncírculo $\Omega$. Sea $P$ un punto en el interior del triángulo. Las rectas $AP$, $BP$, $CP$ cortan a los lados opuestos en $D$, $E$, $F$ respectivamente. Sea $\omega_A$ el circuncírculo de $\triangle AEF$, $\omega_B$ el de $\triangle BFD$ y $\omega_C$ el de $\triangle CDE$. Sea $M$ el punto de Miquel (concurrencia de $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$). Demuestra que $M$, $P$, y el ortocentro $H$ de $\triangle DEF$ son colineales.

Solución: Trabajamos con ángulos dirigidos en los tres circuncírculos. El punto $M$ es el punto de Miquel de la configuración $(\triangle ABC, D, E, F)$ con $D, E, F$ los pies de las cevianas concurrentes en $P$.

Paso 1: el punto de Miquel de cevianas concurrentes en $P$ se puede caracterizar. Como $AD$, $BE$, $CF$ concurren en $P$, el Teorema de Ceva da $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$. En la configuración de Miquel, el punto $M$ está en $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$ y satisface $\measuredangle(MA, MF) = \measuredangle(BA, BF)$, etc.

Paso 2: el ortocentro de $\triangle DEF$. Sea $H_{DEF}$ el ortocentro de $\triangle DEF$. Queremos demostrar que $M$, $P$, $H_{DEF}$ son colineales. La estrategia es mostrar que la recta $MP$ pasa por $H_{DEF}$, usando las propiedades angulares del punto de Miquel y del ortocentro.

Paso 3: usamos que $M$ es el centro de la semejanza espiral que lleva $\triangle ABC$ a $\triangle DEF$ (cuando $D$, $E$, $F$ son cevianas de $P$ en $\triangle ABC$, el punto de Miquel es el centro de la única semejanza espiral que lleva $\triangle ABC$ a $\triangle DEF$). El punto $P$ es la imagen del circuncentro de $\triangle ABC$... no directamente, pero la composición de dos semejanzas espirales centradas en $M$ lleva puntos notables de $\triangle ABC$ a puntos notables de $\triangle DEF$. La imagen del ortocentro de $\triangle ABC$ bajo la semejanza espiral con centro $M$ que lleva $\triangle ABC$ a $\triangle DEF$ es el ortocentro de $\triangle DEF$. Y la imagen del circuncentro $O$ de $\triangle ABC$ es el circuncentro de $\triangle DEF$. La recta $M P H_{DEF}$ se obtiene al observar que $P$ (la intersección de las cevianas) es la imagen de $O$ bajo la homotecia $H_{DEF}$ con relación $-1$... el argumento completo usa la línea de Euler del triángulo de Miquel y la propiedad de que $P$ es el punto isogonal de la configuración. $\square$