Cierre: estrategia de examen y ruta hacia el IMO

El arsenal completo: resumen de los 7 capítulos

Al completar este módulo dominas el arsenal estándar de geometría olímpica de nivel selectivo IMO. Aquí está el inventario completo, capítulo por capítulo.

Cap. 1 — Inversión: definición $OP \cdot OP' = r^2$; inversión de rectas y círculos; inversión en un punto de tangencia; inversión en el vértice de un triángulo para simplificar la circunferencia. Uso principal: problemas con muchos círculos tangentes o configuraciones de Apolonio.

Cap. 2 — Semejanza espiral y punto de Miquel: semejanza espiral con centro $P$ y ángulo $\theta$; el punto de Miquel de cuatro rectas; Teorema de Miquel del triángulo completo; uso de la semejanza espiral para demostrar concurrencia y colinealidad.

Cap. 3 — Geometría proyectiva y razones armónicas: la recta proyectiva; razón doble $(A,B;C,D)$; cuádrupla armónica; Teoremas de Desargues y Pascal; eje de perspectividad y centro de perspectividad; aplicaciones a polares y polos.

Cap. 4 — Coordenadas baricéntricas: sistema de referencia $(u:v:w)$; normalización; puntos notables del triángulo en baricéntricas; ecuaciones de rectas y circuncónicas; determinante de colinealidad; cálculo del punto de Feuerbach y la recta de Euler.

Cap. 5 — Números complejos en geometría: el círculo unitario; vértices $a$, $b$, $c$ con $|a|=|b|=|c|=1$; fórmulas del ortocentro $H=a+b+c$, circuncentro $O=0$, baricentro $G=(a+b+c)/3$; colinealidad y perpendicularidad en términos de argumentos; reflexión y rotación.

Cap. 6 — Taxonomía y estrategia IMO: las cuatro primeras jugadas (concíclicos ocultos, transformación subyacente, marco de coordenadas, resultado conocido); comparación entre argumentos sintéticos y analíticos.

Cap. 7 — Transformaciones de Möbius: $\mu(z)=(az+b)/(cz+d)$; preservación de círculos y razones dobles; normalización de configuraciones; aplicaciones a cadenas de Steiner y al Teorema de Desargues en el plano complejo.

Árbol de decisión: cómo elegir la técnica correcta

Al enfrentar un problema de geometría olímpica, ejecuta este árbol de decisión en los primeros dos minutos:

Nodo 1. ¿El problema involucra principalmente círculos tangentes o un punto en el circuncírculo? → Sí: considera inversión (Cap. 1) o números complejos en el círculo unitario (Cap. 5). No: pasa al Nodo 2.

Nodo 2. ¿Aparecen cuatro rectas en posición general, o hay un punto de Miquel candidato, o hay igualdades de ángulos "en espiral"? → Sí: busca la semejanza espiral (Cap. 2) o el Teorema de Miquel. No: pasa al Nodo 3.

Nodo 3. ¿Hay cuádruplas de puntos con razones iguales, o el problema menciona polar/polo, o hay una perspectividad? → Sí: usa geometría proyectiva y razones armónicas (Cap. 3). No: pasa al Nodo 4.

Nodo 4. ¿El problema involucra puntos notables del triángulo (incentro, excentros, punto de Gergonne, Lemoine) o ceviano-cónicas? → Sí: usa coordenadas baricéntricas (Cap. 4). No: pasa al Nodo 5.

Nodo 5. ¿Hay rotaciones, homotecias, o composiciones de estas transformaciones? → Sí: usa números complejos (Cap. 5) o transformaciones de Möbius (Cap. 7). No: intenta una solución sintética pura combinando ángulos dirigidos, potencia del punto y semejanza.

Regla de oro final: si después de 10 minutos ningún enfoque avanza, vuelve al diagrama y busca círculos auxiliares que no estén en el enunciado. En el 70% de los problemas G3–G6, la clave es un círculo oculto.

Estrategia de examen para el día del IMO

El problema de geometría del IMO (típicamente Problema 1 o Problema 4) tiene una estructura predecible. Aquí está la estrategia probada por los participantes con medalla de oro:

Los primeros 5 minutos: el diagrama. Dibuja el diagrama a gran escala, con regla y compás si es posible. Marca todos los datos del enunciado. Dibuja el diagrama dos veces: una vez con una configuración "genérica" y otra vez con una configuración especial (por ejemplo, triángulo casi equilátero) para evitar ilusiones geométricas. Identifica qué tipo de problema es (concurrencia, colinealidad, igualdad de longitudes, desigualdad).

Los siguientes 10 minutos: exploración. Ejecuta el árbol de decisión. Escribe en un borrador las igualdades angulares que parecen ciertas (aunque no las hayas demostrado). Conjetura puntos auxiliares. Si el problema tiene círculos, aplica mentalmente la inversión y observa qué se simplifica.

La regla de la inversión primero: si los círculos dominan la configuración (más de dos círculos mencionados explícitamente), intenta inversión antes que cualquier otra técnica. Elige el centro de inversión en un punto de tangencia o en un vértice del triángulo.

La regla de los complejos para rotaciones: si aparecen ángulos iguales, rotaciones, o la frase "el triángulo $XYZ$ es semejante a $ABC$", coloca el circuncírculo en el círculo unitario y trabaja en $\mathbb{C}$.

Los últimos 30 minutos: redacción. Una solución IMO correcta necesita justificar cada paso. Escribe en párrafos, no en ecuaciones aisladas. Define cada punto auxiliar antes de usarlo. Termina con la afirmación a demostrar y un "$\blacksquare$" o "c.q.d."

Ruta hacia el IMO: los problemas G1–G8 del ISL

La ruta estándar de entrenamiento post-módulo es la lista de problemas del IMO Shortlist (ISL) de geometría, clasificados por dificultad G1–G8. Aquí está el plan de estudio:

G1–G2 (nivel selectivo regional): accesibles con las herramientas del módulo. Resuelve los G1 y G2 del ISL de los últimos 10 años sin ver soluciones. Tiempo por problema: 45–60 minutos.

G3–G4 (nivel IMO Problema 1/4): requieren una idea clave no obvia. Resuelve 5 de cada nivel. Si en 90 minutos no encuentras la solución, lee los primeros dos pasos de la solución oficial y termínala tú solo.

G5–G6 (nivel IMO Problema 2/5): problemas de alta dificultad con ideas profundas. Trabaja en grupos de estudio: discute durante 30 minutos antes de leer la solución. Estudia al menos dos soluciones distintas de cada problema.

G7–G8 (nivel IMO Problema 3/6): los problemas más difíciles del ciclo olímpico. Solo para candidatos a equipos nacionales. El enfoque recomendado: leer el problema, trabajar 3 horas, leer la solución completa, reconstruirla de memoria dos días después.

Referencia esencial: "Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads" de Evan Chen (EGMO). Cubre todos los capítulos de este módulo con ejercicios graduados y soluciones. El Capítulo 9 (proyectiva) y el Capítulo 6 (baricéntricas) son los más relevantes para el nivel G4–G6.

Meta a 12 meses: resolver correctamente el 80% de los problemas G1–G3 del ISL y comprender las soluciones del 50% de los problemas G4–G5. Eso es el perfil de un participante IMO con posibilidades de medalla de bronce.