Ecuaciones cuadráticas diofánticas

De lo lineal a lo cuadrático

Después de dominar las ecuaciones lineales diofánticas, el siguiente paso natural son las cuadráticas. A diferencia de las lineales, las cuadráticas no tienen una teoría tan uniforme: el tipo de ecuación importa mucho.

Las ecuaciones cuadráticas más tratables en olimpiadas regionales son las que se factorizan directamente en el anillo de los enteros. La factorización convierte el problema cuadrático en un problema de divisibilidad: buscar pares de divisores de un entero dado.

El prototipo es $x^2 - y^2 = n$, que factoriza como $(x-y)(x+y) = n$. También aparecen $x^2 - Dy^2 = n$ (ecuación de Pell generalizada) y $x^2 + y^2 = n$ (representación como suma de dos cuadrados). En esta lección nos centramos en la más elemental.

La ecuación $x^2 - y^2 = n$

Factorizamos: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) = n$. Llamemos $a = x - y$ y $b = x + y$. Entonces $ab = n$, y además $b - a = 2y$ y $b + a = 2x$, de modo que $a$ y $b$ deben tener la misma paridad (ambos pares o ambos impares) para que $x$ y $y$ resulten enteros.

El método es: listar todos los pares $(a, b)$ de divisores de $n$ con $ab = n$, $a \le b$ (o sin esta restricción si se buscan también soluciones negativas), y seleccionar aquellos con $a \equiv b \pmod 2$. Luego $x = (a+b)/2$, $y = (b-a)/2$.

Ejemplo: resolver $x^2 - y^2 = 45$ en enteros positivos. $45 = 1 \times 45 = 3 \times 15 = 5 \times 9$. Pares $(a,b)$ con $a \le b$ y $ab = 45$: $(1,45)$, $(3,15)$, $(5,9)$. Paridades: $(1,45)$ ambos impares, $(3,15)$ ambos impares, $(5,9)$ ambos impares. Los tres son válidos.

Soluciones: $(a,b)=(1,45)$: $x=23, y=22$. $(a,b)=(3,15)$: $x=9, y=6$. $(a,b)=(5,9)$: $x=7, y=2$. Verificación: $23^2-22^2=529-484=45$; $81-36=45$; $49-4=45$.

Condición de paridad y conteo de soluciones

La condición de paridad merece atención. Para que $(x-y)(x+y) = n$ tenga solución entera, observemos:

Si $n$ es impar: cualquier factorización $n = ab$ con $a, b$ de la misma paridad requiere ambos impares (pues un par por impar es par). Como $n$ es impar, todos sus divisores son impares, así que toda factorización $n = ab$ (con $a,b$ positivos) cumple la condición. El número de soluciones positivas es el número de factorizaciones de $n$ en dos factores positivos con $a \le b$, que es $d(n)/2$ redondeado apropiadamente (donde $d(n)$ es el número de divisores).

Si $n \ equiv 2 \pmod 4$: en cualquier factorización $n = ab$, exactamente uno de $a, b$ es par y el otro impar (pues $v_2(n) = 1$). Así los factores tienen distinta paridad y no hay soluciones.

Si $4 \mid n$: podemos tener $a = 2a'$ y $b = 2b'$ con $a'b' = n/4$, lo que da $x = a' + b'$ y $y = b' - a'$, enteros. Hay soluciones.

Resumen: $x^2 - y^2 = n$ tiene solución entera si y solo si $n \not\equiv 2 \pmod 4$.

La ecuación $x^2 + y^2 = n$: argumentos de congruencia

La ecuación $x^2 + y^2 = n$ es más difícil: no factoriza sobre $\mathbb{Z}$ (aunque sí sobre $\mathbb{Z}[i]$, los enteros de Gauss). Para olimpiadas regionales, el enfoque es por congruencias.

Observación clave: $x^2 \equiv 0$ o $1 \pmod 4$ para todo entero $x$ (pues $(2k)^2 = 4k^2 \equiv 0$ y $(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 \equiv 1$). Por lo tanto $x^2 + y^2 \equiv 0, 1$ o $2 \pmod 4$. Si $n \equiv 3 \pmod 4$, la ecuación no tiene solución.

Ejemplo: $x^2 + y^2 = 2026$. Como $2026 = 4 \cdot 506 + 2 \equiv 2 \pmod 4$, no es imposible por paridad. Hay que buscar por otros medios. Si $n = 2026 = 2 \cdot 1013$ y $1013$ es primo con $1013 \equiv 1 \pmod 4$, por la teoría de Fermat-Euler (que se ve en cursos más avanzados) sí existen representaciones.

Para olimpiadas regionales, lo más común es verificar condiciones necesarias (módulo 4, módulo 3, etc.) para mostrar que no hay solución, o encontrar soluciones por inspección en rangos pequeños.

Ecuaciones cuadráticas con acotaciones: combinando factorización y desigualdades

Muchos problemas de olimpiada regional combinan la ecuación con una restricción como $x, y \ge 0$ o $1 \le x \le y$. La factorización sigue siendo la clave.

Ejemplo clásico: "Halla todos los enteros positivos $x, y$ tales que $x^2 - y^2 = 2023$." Factorizamos $2023 = 7 \times 17^2$... calculemos: $2023 = 7 \times 289 = 7 \times 17^2$. Los divisores positivos de $2023$ son $1, 7, 17, 119, 289, 2023$. Pares $(a,b)$ con $a \le b$, $ab = 2023$, $a \equiv b \pmod 2$: $(1, 2023)$ (ambos impares, válido), $(7, 289)$ (ambos impares, válido), $(17, 119)$ (ambos impares, válido). Soluciones: $(x,y) = (1012, 1011), (148, 141), (68, 51)$.

Este tipo de problema —factorizar, listar pares de divisores, aplicar condición de paridad— es exactamente el que aparece en la ONEM regional.