El método de Fermat (descenso infinito)

La idea del descenso infinito

El descenso infinito (también llamado método de Fermat o descenso de Fermat) es una técnica de demostración por contradicción. La idea es: suponer que existe una solución con ciertas propiedades, y mostrar que a partir de ella se puede construir otra solución con un parámetro estrictamente menor (positivo). Esto es imposible por el principio de buena ordenación de los naturales, así que la hipótesis es falsa: no existe ninguna solución.

El método apareció en los escritos de Fermat, quien lo usó para demostrar que $x^4 + y^4 = z^4$ no tiene solución en enteros positivos (un caso particular del Último Teorema de Fermat). También lo usó para probar que no hay triángulo rectángulo de lados racionales cuya área sea un cuadrado perfecto.

En olimpiadas, el descenso infinito aparece típicamente para demostrar que ciertas ecuaciones diofánticas no tienen solución, o para demostrar que la única solución es la trivial $(0,0)$.

El principio de buena ordenación

El fundamento del descenso infinito es el principio de buena ordenación de los enteros no negativos: todo subconjunto no vacío de $\mathbb{N}_0$ tiene un elemento mínimo.

Dicho de otro modo: no existe ninguna sucesión de enteros no negativos estrictamente decreciente $n_1 > n_2 > n_3 > \cdots$, pues tarde o temprano llegaríamos a un valor negativo.

El descenso infinito explota exactamente esto: si pudiéramos construir indefinidamente soluciones con parámetro cada vez menor, obtendríamos tal sucesión decreciente, lo cual es absurdo.

Formalmente: sea $S$ el conjunto de todos los valores de un parámetro asociado a las soluciones (por ejemplo, $x + y$ o $\max(x,y)$). Si $S$ es un subconjunto no vacío de los naturales, tiene un mínimo $m$. Mostramos que cualquier solución con parámetro $m$ genera una solución con parámetro $< m$, contradiciendo la minimalidad. Luego $S = \emptyset$.

Ejemplo clásico: $x^2 + y^2 = 3z^2$ no tiene solución no trivial

Demostremos que $x^2 + y^2 = 3z^2$ no tiene solución en enteros con $(x, y, z) \ne (0, 0, 0)$.

Supongamos que existe una solución con $z > 0$ mínimo (entre todas las soluciones con $z > 0$). Miramos módulo 3: $x^2 + y^2 \equiv 0 \pmod 3$. Los cuadrados módulo 3 son 0 y 1. Para que $x^2 + y^2 \equiv 0 \pmod 3$, necesitamos $x^2 \equiv 0$ y $y^2 \equiv 0$, es decir $3 \mid x$ y $3 \mid y$. Escribamos $x = 3x'$, $y = 3y'$.

Sustituyendo: $(3x')^2 + (3y')^2 = 3z^2$, es decir $9x'^2 + 9y'^2 = 3z^2$, o sea $3x'^2 + 3y'^2 = z^2$, y entonces $z^2 \equiv 0 \pmod 3$, lo que da $3 \mid z$. Escribamos $z = 3z'$.

Sustituyendo de nuevo: $3x'^2 + 3y'^2 = (3z')^2 = 9z'^2$, es decir $x'^2 + y'^2 = 3z'^2$. Pero $z' = z/3 < z$, contradiciendo la minimalidad de $z$. Luego no existen soluciones no triviales.

Ejemplo: $x^2 = 2y^2$ solo tiene la solución trivial

Demostremos que $x^2 = 2y^2$ no tiene solución en enteros positivos. (Esto es equivalente a demostrar que $\sqrt{2}$ es irracional.)

Supongamos que $(x, y)$ es solución con $x + y$ mínimo, $x, y > 0$. De $x^2 = 2y^2$ se tiene $2 \mid x^2$, y como 2 es primo, $2 \mid x$. Escribamos $x = 2x'$.

Entonces $(2x')^2 = 2y^2$, es decir $4x'^2 = 2y^2$, o sea $y^2 = 2x'^2$. Así $(y, x')$ también es solución positiva. Pero $y + x' < x + y$ (pues $x' = x/2 < x$). Contradicción con la minimalidad.

Este argumento es precisamente la demostración clásica de la irracionalidad de $\sqrt{2}$ reformulada como descenso infinito. Es el mismo esquema que se usa en muchos problemas de olimpiada: reducir la solución a una fracción $p/q$ en mínimos términos y mostrar que $p$ y $q$ comparten un factor común.

Estructura general del argumento y cuándo usarlo

El esquema del descenso infinito es siempre el mismo: (1) Suponer que existe una solución no trivial. (2) Escoger la "más pequeña" según algún parámetro de tamaño positivo. (3) A partir de ella, construir una solución aún más pequeña. (4) Concluir por contradicción que no existe ninguna.

Clave: el parámetro de tamaño debe ser un entero positivo (o no negativo), no un real arbitrario. Esto garantiza que el argumento de buena ordenación aplica.

El descenso infinito es especialmente útil cuando la ecuación tiene una simetría que permite "escalar" las soluciones, como en $ax^2 + by^2 = cz^2$ o en $x^n + y^n = z^n$ (donde la escala por un factor $k$ transforma una solución en otra). También se usa en problemas donde "$p \mid x$ implica $p^2 \mid$ algo", creando un ciclo de divisibilidades que fuerza al infinito.

En la ONEM regional, el descenso infinito aparece típicamente en problemas que piden "demostrar que no existen enteros positivos $x, y, z$ tales que..." — la demostración estándar suele ser módulo algún primo seguida de descenso.