Simulacro 1: 4 problemas ONEM TdN

Instrucciones del simulacro

Este simulacro replica el formato de la ronda regional ONEM de teoría de números: cuatro problemas de dificultad creciente, tiempo sugerido 60 minutos.

En teoría de números ONEM regional, las herramientas más frecuentes son: divisibilidad y propiedades del MCD, congruencias módulo $m$, propiedades de primos, representación en otras bases, y el Teorema Pequeño de Fermat.

Antes de atacar cada problema, identifica los primeros movimientos: ¿es un problema de divisibilidad? ¿de congruencias? ¿de existencia o de conteo?

Problema 1 (Nivel 1): MCD y propiedades básicas

Problema TN1. Demuestra que para todo entero positivo $n$, $\gcd(n, n+1) = 1$.

Solución. Sea $d = \gcd(n, n+1)$. Entonces $d \mid n$ y $d \mid (n+1)$. Por tanto $d \mid (n+1) - n = 1$. Como $d$ es positivo y divide a $1$, concluimos $d = 1$.

Luego $\gcd(n, n+1) = 1$ para todo entero positivo $n$: dos enteros consecutivos son siempre coprimos. ✓

Problema 2 (Nivel 1-2): Congruencias

Problema TN2. Encuentra el resto de $7^{2023}$ al dividir entre $6$.

Solución. Observamos que $7 \equiv 1 \pmod{6}$. Luego $7^{2023} \equiv 1^{2023} = 1 \pmod{6}$.

El resto es $\mathbf{1}$.

Verificación: $7 = 6 \cdot 1 + 1$, $7^2 = 49 = 6 \cdot 8 + 1$, $7^3 = 343 = 6 \cdot 57 + 1$. El patrón confirma que $7^k \equiv 1 \pmod 6$ para todo $k \ge 1$. ✓

Problema 3 (Nivel 2): Propiedades de primos

Problema TN3. Sea $p$ un primo mayor que $3$. Demuestra que $p^2 \equiv 1 \pmod{24}$.

Solución. Como $p > 3$ es primo, $p$ no es divisible por $2$ ni por $3$. Todo entero no divisible por $2$ es impar, así $p = 2k+1$ para algún $k$, y $p^2 = 4k^2+4k+1 = 4k(k+1)+1$. Como $k(k+1)$ es siempre par (producto de consecutivos), $p^2 \equiv 1 \pmod{8}$.

Módulo $3$: $p \not\equiv 0 \pmod 3$, así $p \equiv \pm 1 \pmod 3$, luego $p^2 \equiv 1 \pmod 3$.

Como $\gcd(8,3) = 1$ y $p^2 \equiv 1 \pmod 8$ y $p^2 \equiv 1 \pmod 3$, por el TCR: $p^2 \equiv 1 \pmod{24}$. ✓

Problema 4 (Nivel 2): Ecuación diofántica lineal

Problema TN4. Halla todas las soluciones enteras positivas de $3x + 5y = 41$.

Solución. Una solución particular: $x = 2, y = 7$: $6 + 35 = 41$. ✓. La solución general de $3x + 5y = 41$ es $x = 2 + 5t$, $y = 7 - 3t$ para $t \in \mathbb{Z}$.

Para $x, y > 0$: $x = 2+5t > 0$ requiere $t > -2/5$, es decir $t \ge 0$. $y = 7-3t > 0$ requiere $t < 7/3$, es decir $t \le 2$.

Valores válidos: $t = 0$: $(x,y) = (2, 7)$. $t = 1$: $(7, 4)$. $t = 2$: $(12, 1)$.

Verificación: $3(2)+5(7)=41$ ✓, $3(7)+5(4)=21+20=41$ ✓, $3(12)+5(1)=36+5=41$ ✓.