Simulacro 2: 4 problemas ONEM TdN avanzado

Problema 5 (Nivel 2): Congruencias simultáneas (TCR)

Problema TN5. Halla el menor entero positivo $n$ tal que $n \equiv 3 \pmod{5}$, $n \equiv 1 \pmod{7}$ y $n \equiv 2 \pmod{3}$.

Solución. Por el Teorema Chino del Resto (los módulos $5, 7, 3$ son coprimos dos a dos, pues todos son primos distintos): existe solución única módulo $5 \cdot 7 \cdot 3 = 105$.

De $n \equiv 1 \pmod 7$: $n = 7k+1$. Sustituimos en $n \equiv 3 \pmod 5$: $7k+1 \equiv 3 \pmod 5$, así $2k \equiv 2 \pmod 5$, luego $k \equiv 1 \pmod 5$. Entonces $k = 5m+1$ y $n = 7(5m+1)+1 = 35m+8$.

Sustituimos en $n \equiv 2 \pmod 3$: $35m+8 \equiv 2 \pmod 3$, así $2m + 2 \equiv 2 \pmod 3$, luego $2m \equiv 0 \pmod 3$, así $m \equiv 0 \pmod 3$. Tomamos $m = 0$: $n = 8$.

Verificación: $8 = 1\cdot5+3$ ✓, $8 = 1\cdot7+1$ ✓, $8 = 2\cdot3+2$ ✓.

Problema 6 (Nivel 2): Número de divisores

Problema TN6. ¿Cuántos divisores tiene $n = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3$? ¿Cuántos de ellos son múltiplos de $6$?

Divisores totales. $\tau(n) = (4+1)(2+1)(3+1) = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 60$.

**Divisores múltiplos de $6 = 2 \cdot 3$.** Un divisor $d = 2^a 3^b 5^c$ de $n$ es múltiplo de $6$ iff $a \ge 1$ y $b \ge 1$. Rangos: $a \in \{1,2,3,4\}$ (4 opciones), $b \in \{1,2\}$ (2 opciones), $c \in \{0,1,2,3\}$ (4 opciones).

Número de divisores múltiplos de $6$: $4 \cdot 2 \cdot 4 = 32$.

Problema 7 (Nivel 2-3): Potencias y valuaciones

Problema TN7. ¿Para cuántos enteros $n$ con $1 \le n \le 100$ el número $\binom{100}{n}$ es divisible por $5$?

Solución (Criterio de Lucas). Por la fórmula de Kummer, $v_5\binom{100}{n}$ es el número de acarreos al sumar $n$ y $100-n$ en base $5$.

$100 = (4,0,0)_5$ en base $5$ (pues $100 = 4 \cdot 25$). Un coeficiente binomial $\binom{100}{n}$ no es divisible por $5$ iff no hay acarreos, es decir iff cada dígito de $n$ en base $5$ es $\le$ el dígito correspondiente de $100 = (4,0,0)_5$.

Dígito de las unidades de $100$ es $0$: el dígito de $n$ debe ser $0$. Dígito de los $5$s es $0$: el dígito de $n$ debe ser $0$. Dígito de los $25$s es $4$: el dígito de $n$ puede ser $0,1,2,3,4$.

Luego $n$ con $\binom{100}{n}$ no divisible por $5$: $n = 25k$ con $0 \le k \le 4$, es decir $n \in \{0, 25, 50, 75, 100\}$. Hay $5$ tales valores. De estos, $0$ y $100$ están fuera de $\{1,\ldots,99\}$ (si pedimos $1 \le n \le 99$); los válidos con $\binom{100}{n}$ NO divisible por $5$ son $\{25, 50, 75\}$: $3$ valores.

Así $\binom{100}{n}$ divisible por $5$ para $100 - 5 = 95$ valores en $\{0,\ldots,100\}$, y para $99 - 3 = 96$ valores en $\{1,\ldots,99\}$. En $\{1,\ldots,100\}$: $100 - 3 = 97$ valores.

Problema 8 (Nivel 3): Suma de cuadrados y primos

Problema TN8. Encuentra todos los primos $p$ tales que $p^2 + 8$ es también primo.

Exploración. $p=2$: $4+8=12=4\cdot3$, no primo. $p=3$: $9+8=17$, primo ✓. $p=5$: $25+8=33=3\cdot11$, no primo. $p=7$: $49+8=57=3\cdot19$, no primo. Patrón: parece que solo $p=3$ funciona.

Solución. Para $p = 3$: $p^2 + 8 = 17$, primo ✓. Para $p = 2$: $12 = 4 \cdot 3$, no primo.

Para $p > 3$ primo: $p \not\equiv 0 \pmod 3$, así $p \equiv 1$ o $p \equiv 2 \pmod 3$. En cualquier caso: $p^2 \equiv 1 \pmod 3$. Luego $p^2 + 8 \equiv 1 + 8 = 9 \equiv 0 \pmod 3$. Así $3 \mid p^2+8$. Como $p^2+8 > 3$ para $p > 3$ (en efecto, $p \ge 5$ da $p^2+8 \ge 33 > 3$), $p^2+8$ no es primo.

Conclusión: el único primo $p$ con $p^2+8$ también primo es $p = 3$.