Estrategia de competencia

Los cinco tipos de problema de TdN en ONEM

En la ONEM regional, los problemas de teoría de números suelen ser de cinco tipos:

(1) Divisibilidad pura: demuestra que $a \mid b$ para expresiones algebraicas o en enteros. Primer movimiento: escribe $a$ y $b$ en función de variables y usa propiedades del MCD o la definición de divisibilidad.

(2) Congruencias: halla el resto de $a^n \pmod m$ o determina la solubilidad de $f(x) \equiv 0 \pmod m$. Primer movimiento: reduce $a$ módulo $m$ y usa el pequeño teorema de Fermat o las propiedades del orden.

(3) Ecuaciones diofánticas: halla todas las soluciones enteras. Primer movimiento: considera módulo $2, 3, 4,$ o $p$; o usa la factorización de la expresión.

(4) Primos y factorización: demuestra que ciertos números son (o no son) primos, o halla todos los primos con una propiedad. Primer movimiento: analiza módulo 3, 5, o el argumento de paridad; usa el Postulado de Bertrand si es necesario.

(5) Conteo de divisores: calcula $\tau(n)$, $\sigma(n)$, $\phi(n)$, o el número de enteros con cierta propiedad aritmética. Primer movimiento: factoriza $n$ completamente y aplica las fórmulas multiplicativas.

Catálogo de primeros movimientos en TdN

Cuando te enfrentes a un problema de TdN, el primer movimiento suele ser uno de estos:

Explorar casos pequeños: calcula los primeros $5$-$10$ valores y busca un patrón. En teoría de números, los patrones revelan la estructura subyacente.

**Reducir módulo $m$:** elige $m = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9$ o un primo $p$ conveniente. La reducción modular a menudo demuestra imposibilidad o limita las soluciones posibles.

Factorizar la expresión: escribe $f(x) = (x-a)(x-b)\ldots$ o $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ para explotar la divisibilidad.

**Usar la valuación $v_p$:** si el problema involucra potencias de un primo $p$, trabajar con $v_p(n)$ (el exponente de $p$ en la factorización de $n$) suele dar el camino.

Argumento de paridad: verificar si una expresión es par o impar para derivar contradicciones.

Cota: si el problema pide demostrar que no existen soluciones para $n > N$, usa la magnitud de los términos.

Redacción de soluciones en TdN

En teoría de números, la redacción es especialmente importante porque los argumentos son a menudo exhaustivos por casos.

Estructura de una solución de divisibilidad: (1) Enuncia qué quieres demostrar. (2) Escribe $a = \ldots$ y $b = \ldots$ en la forma conveniente. (3) Observa que $a \mid b$ por la razón $X$. (4) Concluye.

Estructura de una solución de congruencias: (1) Reduce la expresión módulo $m$. (2) Calcula los residuos posibles de cada variable. (3) Combina los resultados. (4) Concluye.

Estructura de una solución de ecuación diofántica: (1) Halla una solución particular. (2) Escribe la solución general. (3) Aplica las restricciones (positividad, coprimalidad, etc.). (4) Lista todas las soluciones y verifica cada una.

Error frecuente: decir "es fácil ver que $p \mid f(n)$ para todo $n$" sin demostración. En teoría de números, cada paso de divisibilidad debe justificarse explícitamente.

Problemas tipo ONEM por área de TdN

Los problemas de TdN en la ONEM regional suelen tocar los siguientes temas, por orden de frecuencia:

Muy frecuentes: propiedades del MCD/MCM, congruencias simples, propiedades de dígitos (suma de dígitos, representación en base 10), paridad y divisibilidad por 2 y 4.

Frecuentes: pequeño Teorema de Fermat, propiedades de potencias, ecuaciones diofánticas lineales, Teorema Chino del Resto.

Ocasionales: número de divisores, función de Euler, representación binaria, problemas de primos (distribución, propiedades especiales).

Raros en regional, comunes en nacional: LTE (Lifting the Exponent), valuaciones $p$-ádicas, primas de Mersenne y Fermat, problemas de densidad.

Prepara los temas muy frecuentes con fluidez total: deben salirte de manera automática en el examen.