Ecuaciones de Markov y conjuntos de Markov

La ecuación de Markov: una joya del siglo XIX

En 1879, el matemático ruso Andrei Markov (Андрей Марков, padre del famoso Markov de cadenas de Markov) estudió mínimos de formas cuadráticas indefinidas, y en ese contexto descubrió la ecuación:

$$x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz,$$

hoy conocida como la ecuación de Markov. Sus soluciones enteras positivas, llamadas triples de Markov, forman una de las estructuras más hermosas y misteriosas de la teoría de números.

Las primeras triples de Markov son: $(1,1,1)$, $(1,1,2)$, $(1,2,5)$, $(1,5,13)$, $(2,5,29)$, $(1,13,34)$, $(5,13,194)$, $\ldots$

Nota que $(1,1,1)$ claramente satisface $1+1+1 = 3 \cdot 1$. Y $(1,1,2)$: $1+1+4 = 6 = 3\cdot 2$. ✓ Y $(1,2,5)$: $1+4+25 = 30 = 3 \cdot 10$. ✓

El conjunto de soluciones es infinito y posee una estructura de árbol perfectamente ordenada, lo que lo hace extraordinariamente manejable —y a la vez, la conjetura de unicidad de Markov (que afirma que el mayor elemento de una triple determina la triple unívocamente) permanece abierta a más de 140 años de su formulación.

Vieta jumping genera todo el árbol de Markov

La ecuación de Markov es cuadrática en cada variable. Fijados $y$ y $z$, la ecuación $x^2 - 3yz \cdot x + (y^2 + z^2) = 0$ tiene dos raíces: la que ya conocemos ($x_0$) y una nueva ($x_1$). Por Vieta:

$x_0 + x_1 = 3yz \quad$ y $\quad x_0 x_1 = y^2 + z^2.$

Si $(x_0, y, z)$ es una triple de Markov con $x_0 \ge y \ge z \ge 1$, entonces $x_1 = 3yz - x_0$ también es un entero positivo, y $(x_1, y, z)$ es una nueva triple de Markov. Esto se llama una mutación de Markov (en la dirección $x$).

¿Es $x_1$ siempre positivo? Sí: $x_0 x_1 = y^2 + z^2 \ge 2 > 0$ y $x_0 > 0$, así $x_1 > 0$.

¿Es $x_1 < x_0$? Si $x_0 \ge y \ge z$, entonces $x_1 = (y^2+z^2)/x_0 \le (x_0^2 + x_0^2)/x_0 = 2x_0$... no necesariamente menor. Pero: $x_1 = y^2+z^2)/x_0 \le y^2/x_0 + z^2/x_0 \le y^2/y + z^2/z = y + z \le 2x_0$. Para la dirección opuesta: si $(x_0, y, z)$ es una triple con $x_0 = \max$, entonces $x_1 = 3yz - x_0$. ¿Es $x_1 \ge x_0$? Eso ocurriría si $3yz \ge 2x_0$. Usando $x_0^2 \le x_0^2+y^2+z^2 = 3x_0 yz$, tenemos $x_0 \le 3yz$. Así $x_1 = 3yz - x_0 \ge 0$. Y $x_1 \ge x_0$ iff $3yz \ge 2x_0$, lo que ocurre frecuentemente. En esa dirección se genera una triple mayor. En la dirección de descenso (tomando el máximo y saltando), se genera siempre una triple con máximo estrictamente menor.

La estructura es la siguiente: el árbol de Markov tiene como raíz $(1,1,1)$; de cada nodo $(x, y, z)$ con $x \ge y \ge z$ se generan tres nodos hijos por mutación en cada coordenada, pero el único que lleva "hacia arriba" es la mutación que reemplaza el máximo.

La conjetura de unicidad de Markov

Conjetura (Markov, 1879; abierta). Si $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$ son dos triples de Markov con $\max(x_1,y_1,z_1) = \max(x_2,y_2,z_2) = m$, entonces $(x_1,y_1,z_1) = (x_2,y_2,z_2)$ (como conjuntos).

En otras palabras: el mayor elemento de una triple de Markov determina la triple unívocamente.

Los números que aparecen como el mayor elemento de alguna triple son los números de Markov: $1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, \ldots$ La conjetura afirma que ningún número de Markov aparece en dos triples distintas como el máximo.

Se conoce evidencia computacional masiva: la conjetura es cierta para todos los números de Markov hasta $10^{10^{13}}$ (Baragar, 1996; resultados más recientes). Se ha probado para clases especiales: si el número de Markov es una potencia prima, o de la forma $p^k$ con $p \equiv 3 \pmod 4$... pero el caso general sigue abierto.

Lo que sí se sabe: el árbol de Markov es un árbol binario (cada triple, salvo la raíz, tiene exactamente un padre y dos hijos en el árbol). Y la secuencia de Fibonacci aparece: los números de Markov incluyen $F_{2n+2}$ para ciertos $n$ (los triples de la "rama de Fibonacci" son $(F_{2n-2}, F_{2n}, F_{2n+2})/\gcd$... en realidad los números de Fibonacci impice aparecen como la "columna vertebral" del árbol).

Propiedades aritmética de los números de Markov

Aunque la conjetura completa está abierta, se conocen muchas propiedades aritméticas de los números de Markov.

Propiedad 1. Todo número de Markov mayor que 1 es impar salvo $2$. Demostración: módulo 3, la ecuación $x^2+y^2+z^2 \equiv 3xyz \equiv 0 \pmod 3$. Si alguno es divisible por 3, digamos $3 \mid z$, entonces $x^2+y^2 \equiv 0 \pmod 3$, así $3 \mid x$ y $3 \mid y$. Pero entonces $9 \mid x^2+y^2+z^2$ y $27 \mid 3xyz$, entonces $3 \mid xyz/3$... el argumento muestra que si $3 \mid z$ entonces $3 \mid x, y$, contradiciendo que $(x/3, y/3, z/3)$ fuese primitiva. Por tanto ningún elemento de una triple primitiva es divisible por 3.

Propiedad 2. $x_n \sim C \cdot e^{c\sqrt{n}}$ para los $n$ primeros números de Markov ordenados. El crecimiento es exponencial en $\sqrt{n}$.

Propiedad 3. Módulo cualquier primo $p$, la ecuación de Markov tiene soluciones no triviales. Esto se usa para probar que el árbol es infinito.

Aplicación a olimpiadas. La ecuación $x^2+y^2+z^2 = 3xyz$ aparece directamente en algunos problemas de nivel IMO/Shortlist; en otros, aparece disfrazada (por ejemplo, la sustitución $x = a/c$, $y = b/c$ en una ecuación cuadrática homogénea). Reconocer la estructura de Markov permite usar las propiedades del árbol para demostrar existencia o imposibilidad de soluciones.

Generalizaciones: ecuaciones de Markov tipo $k$

La ecuación original de Markov tiene el coeficiente $3$ en el lado derecho. Las ecuaciones generalizadas de Markov son:

$$x^2 + y^2 + z^2 = k \cdot xyz$$

para un entero positivo $k$. El caso $k=1$: $x^2+y^2+z^2 = xyz$ — solo tiene soluciones con algún elemento igual a $0$ o soluciones negativas si no exigimos positividad. El caso $k=3$: la ecuación original. El caso $k=6$: relacionado con superficies de Markoff de orden superior.

Una variante que aparece en olimpiadas: la ecuación de Hurwitz $x_1^2 + \cdots + x_n^2 = a x_1 x_2 \cdots x_n$. Para $n=2$: $x^2+y^2 = axy$, que solo tiene soluciones positivas si $a = 1$ (con $x = y$) o $a = 2$ (con $x = y$, pues $2x^2 = 2x^2$). Para $n = 3$ y $a = 3$: la ecuación de Markov.

Técnica. Para estas generalizaciones, el Vieta jumping funciona de manera análoga: fijados $y_0, z_0$, la ecuación en $x$ es $x^2 - kyz x + (y^2+z^2) = 0$, y se puede saltar de $x_0$ a $x_1 = kyz - x_0$. La finitud o infinitud del árbol de soluciones depende de $k$ y de las cotas que se obtengan.

Ejemplo olímpico con estructura de Markov

Problema (IMO 2010, Problema 5 / variante). Encuentra todas las triples $(a, b, c)$ de enteros positivos tales que $a^2 + b^2 + c^2 = a^2 b^2$ (este es un ejemplo simplificado con estructura similar).

Reescribiendo: $c^2 = a^2 b^2 - a^2 - b^2 = a^2(b^2-1) - b^2$. Para $b = 1$: $c^2 = -1$, imposible. Para $b = 2$: $c^2 = 3a^2 - 4$; módulo $3$: $c^2 \equiv -4 \equiv 2 \pmod 3$, imposible. Para $b = 3$: $c^2 = 8a^2 - 9$; para $a = 3$: $c^2 = 72-9 = 63$, no cuadrado. Para $a = b = c = k$: $3k^2 = k^4$, $k^2 = 3$, no entero.

El análisis módulo pequeños primos y el uso de descenso combinado con cotas modulares es la técnica estándar para problemas de esta familia.

La lección práctica: cuando veas una ecuación diofántica cuadrática en tres variables que es simétrica o casi simétrica, piensa en Markov. La ecuación puede no ser exactamente $x^2+y^2+z^2=3xyz$, pero la técnica de Vieta jumping sobre una de las variables puede generar el mismo árbol de descenso.