Funciones totalmente multiplicativas y sus propiedades

Definiciones: multiplicativa versus totalmente multiplicativa

Una función aritmética $f: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{C}$ es multiplicativa si $f(1) = 1$ y $f(mn) = f(m)f(n)$ siempre que $\gcd(m, n) = 1$.

Es totalmente multiplicativa (o completamente multiplicativa) si $f(1) = 1$ y $f(mn) = f(m)f(n)$ para todos los enteros positivos $m, n$, sin restricción de coprimalidad.

La diferencia es crucial: toda función totalmente multiplicativa es multiplicativa, pero no al revés. El ejemplo clásico de separación es la función $\tau$ (número de divisores): $\tau(4) = 3 \ne 4 = \tau(2)^2$, así $\tau$ es multiplicativa pero no totalmente multiplicativa. En cambio, $f(n) = n^s$ para $s \in \mathbb{C}$ fijo es totalmente multiplicativa: $f(mn) = (mn)^s = m^s n^s = f(m)f(n)$.

Para una función totalmente multiplicativa, los valores en primos determinan completamente la función: si $n = p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}$, entonces $f(n) = f(p_1)^{a_1} \cdots f(p_k)^{a_k}$. Este es el hecho estructural más importante.

El álgebra de las funciones multiplicativas: convolución de Dirichlet

El conjunto de funciones aritméticas con $f(1) \ne 0$ forma un grupo abeliano bajo la convolución de Dirichlet $(f * g)(n) = \sum_{d \mid n} f(d) g(n/d)$.

Las funciones multiplicativas forman un subgrupo bajo esta operación: si $f$ y $g$ son multiplicativas, entonces $f * g$ también lo es. Sin embargo, el producto de dos funciones totalmente multiplicativas bajo convolución de Dirichlet no es totalmente multiplicativa en general.

Lo que sí se conserva bajo multiplicación puntual (no convolución): si $f$ y $g$ son totalmente multiplicativas, entonces $h(n) = f(n)g(n)$ es totalmente multiplicativa. Esto hace que las funciones totalmente multiplicativas formen un grupo bajo multiplicación puntual.

La inversa de Dirichlet de una función totalmente multiplicativa $f$ es $f^{-1}(p^k) = -f(p) \cdot [k=1] + f(p)^0 \cdot [k=0]$... más precisamente, si $\mu$ es la función de Möbius, la inversa de Dirichlet de $f$ totalmente multiplicativa es $f^{-1} = f \cdot \mu$ (producto puntual). Esta fórmula es un resultado no trivial que usaremos en la Lección 5.3.

Los ejemplos fundamentales

**La función identidad $\text{id}^s(n) = n^s$.** Para $s \in \mathbb{C}$, $\text{id}^s$ es totalmente multiplicativa. Casos especiales: $s = 0$ da la función constante 1 (generalmente escrita $\mathbf{1}$), $s = 1$ da $\text{id}(n) = n$, $s = -1$ da $n \mapsto 1/n$.

**La función de Liouville $\lambda(n)$.** Si $n = p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}$, definimos $\lambda(n) = (-1)^{a_1 + \cdots + a_k} = (-1)^{\Omega(n)}$, donde $\Omega(n)$ es el número total de factores primos contados con multiplicidad. Se tiene $\lambda(mn) = (-1)^{\Omega(mn)} = (-1)^{\Omega(m)+\Omega(n)} = \lambda(m)\lambda(n)$, así $\lambda$ es totalmente multiplicativa. Sus valores en primos son $\lambda(p) = -1$ para todo primo $p$.

Los caracteres de Dirichlet. Un carácter de Dirichlet módulo $q$ es una función $\chi: \mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ que es completamente multiplicativa en los enteros coprimos con $q$ y satisface $\chi(n) = 0$ si $\gcd(n, q) > 1$ y $\chi(n + q) = \chi(n)$. Los caracteres de Dirichlet son totalmente multiplicativos en $\mathbb{Z}^+$ (con la convención $\chi(n) = 0$ cuando $\gcd(n,q) > 1$). El carácter principal $\chi_0$ satisface $\chi_0(n) = 1$ si $\gcd(n,q) = 1$ y $\chi_0(n) = 0$ si no.

**La función de Möbius $\mu$.** $\mu$ es multiplicativa pero no totalmente multiplicativa: $\mu(4) = 0 \ne 1 = \mu(2)^2$. Sin embargo, $\mu$ tiene una relación profunda con $\lambda$: $\mu(n) = \lambda(n)$ si $n$ es libre de cuadrados, y $\mu(n) = 0$ si $p^2 \mid n$ para algún primo $p$.

Propiedades de las funciones totalmente multiplicativas en olimpiadas

En problemas de olimpiadas, las funciones totalmente multiplicativas aparecen casi siempre en el contexto de ecuaciones funcionales. La condición $f(mn) = f(m)f(n)$ para todo $m, n \ge 1$ es la hipótesis central.

**Propiedad 1: $f(1) = 1$ o $f \equiv 0$.** Si $f(mn) = f(m)f(n)$, tomar $m = n = 1$ da $f(1) = f(1)^2$, así $f(1) \in \{0, 1\}$. Si $f(1) = 0$, entonces $f(n) = f(n \cdot 1) = f(n) \cdot f(1) = 0$ para todo $n$. Si $f(1) = 1$, la función es no trivial.

**Propiedad 2: $f(p^k) = f(p)^k$.** Inmediato por inducción: $f(p^k) = f(p \cdot p^{k-1}) = f(p)f(p^{k-1}) = f(p)^k$.

Propiedad 3: el rango es un subgrupo multiplicativo. Si $f(n) \ne 0$ para todo $n$, entonces el conjunto de valores $\{f(n) : n \in \mathbb{Z}^+\}$ es cerrado bajo multiplicación.

Propiedad 4: sumas de Dirichlet. La identidad $\sum_{d \mid n} \mu(d) f(d) = \prod_{p \mid n} (1 - f(p))$ para $f$ totalmente multiplicativa es central en la teoría analítica de números y aparece en problemas de nivel IMO/6.

Restricciones sobre los valores: $f$ real versus $f$ entera

En olimpiadas de TN, las funciones totalmente multiplicativas casi siempre toman valores enteros o en $\{-1, 0, 1\}$. Esto impone restricciones severas.

Si $f: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}$ es totalmente multiplicativa y $|f(p)| \le 1$ para todo primo $p$, entonces $f(p) \in \{-1, 0, 1\}$. Los casos son:

• $f(p) = 0$ para algún primo $p$: entonces $f(p^k) = 0$ para todo $k \ge 1$, y $f$ se anula en todos los múltiplos de $p$.

• $f(p) = 1$ para todo primo: entonces $f \equiv 1$ (la función constante 1).

• $f(p) = -1$ para todo primo: entonces $f = \lambda$ (la función de Liouville).

• Combinaciones: $f(p) \in \{-1, 1\}$ con algunos $p$ dando $-1$ y otros dando $1$. Esto define $f$ como un carácter de Dirichlet cuadrático (o un producto de varios de ellos) sobre los enteros libres de cuadrados, con aniquilación en los demás.

Esta clasificación es el punto de partida para resolver ecuaciones funcionales del tipo $f(mn) = f(m)f(n)$ en olimpiadas.

Suma sobre divisores: la identidad $\sum_{d \mid n} \lambda(d) = [n \text{ es cuadrado}]$

Una de las identidades más bellas y útiles de la teoría es: $\sum_{d \mid n} \lambda(d) = \begin{cases} 1 & \text{si } n \text{ es un cuadrado perfecto} \\ 0 & \text{si no} \end{cases}$.

Para demostrarla, basta verificarla en primos potencias $n = p^k$ (por multiplicatividad de $f * g$ cuando $f, g$ son multiplicativas): $\sum_{j=0}^{k} \lambda(p^j) = \sum_{j=0}^{k} (-1)^j$. Si $k$ es par: $1 - 1 + 1 - \cdots + 1 = 1$. Si $k$ es impar: $1 - 1 + \cdots - 1 = 0$. Como $n = p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}$ es un cuadrado si y solo si todos los $k_i$ son pares, la identidad se verifica.

Esta identidad es el análogo discreto de $\int_0^1 e^{2\pi i n x} dx = [n = 0]$. En problemas IMO aparece al contar cuadrados en ciertas familias usando la función $\lambda$ como "indicador de cuadrados".