La función de Liouville $\lambda$ y la hipótesis de Pólya

Definición y primeras propiedades

La función de Liouville se define por $\lambda(1) = 1$ y $\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}$ para $n \ge 2$, donde $\Omega(n) = \sum_{p^k \| n} k$ es el número total de factores primos de $n$ contados con multiplicidad.

Es totalmente multiplicativa: $\lambda(mn) = (-1)^{\Omega(mn)} = (-1)^{\Omega(m)+\Omega(n)} = \lambda(m)\lambda(n)$. Sus valores en primos potencias son $\lambda(p^k) = (-1)^k$.

Ejemplos: $\lambda(1) = 1$, $\lambda(2) = -1$, $\lambda(3) = -1$, $\lambda(4) = 1$, $\lambda(5) = -1$, $\lambda(6) = 1$ (pues $\Omega(6) = 2$), $\lambda(8) = -1$ (pues $\Omega(8) = 3$), $\lambda(12) = (-1)^3 = -1$ (pues $\Omega(12) = \Omega(4 \cdot 3) = 3$).

La secuencia $\lambda(1), \lambda(2), \lambda(3), \ldots = 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, \ldots$ no tiene un patrón periódico obvio, lo cual hace a $\lambda$ interesante analíticamente.

Las identidades de convolución fundamentales

Identidad 1. $\lambda * \mathbf{1} =$ indicador de cuadrados. Más precisamente: $\sum_{d \mid n} \lambda(d) = \begin{cases} 1 & \text{si } n \text{ es cuadrado perfecto} \\ 0 & \text{en caso contrario.} \end{cases}$

Demostración en potencias de primo: $\sum_{k=0}^{a} \lambda(p^k) = \sum_{k=0}^{a} (-1)^k$, que es $1$ si $a$ es par y $0$ si $a$ es impar.

Identidad 2. $\lambda * \mu \cdot \lambda = \delta$ (identidad bajo convolución de Dirichlet, donde $\delta(1) = 1$ y $\delta(n) = 0$ para $n \ge 2$). Equivalentemente, $\lambda$ es inversible bajo convolución de Dirichlet y su inversa es $\mu \cdot \lambda$ (producto puntual). Esto es la fórmula general para la inversa de una función totalmente multiplicativa $f$: $f^{-1} = \mu \cdot f$ (vista en Lección 5.1).

Identidad 3 (función zeta). En la región $\text{Re}(s) > 1$, la serie de Dirichlet asociada a $\lambda$ es $\sum_{n=1}^{\infty} \lambda(n) n^{-s} = \zeta(2s)/\zeta(s)$, donde $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$ es la función zeta de Riemann. Esto se demuestra comparando los productos de Euler: $\sum_n \lambda(n) n^{-s} = \prod_p (1 - p^{-s})^{-1} \cdot \prod_p (1 - p^{-2s}) = \zeta(s)^{-1} \cdot \zeta(2s)$... de hecho, $\sum_n \lambda(n) n^{-s} = \prod_p \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k p^{-ks} = \prod_p (1 + p^{-s})^{-1} = \zeta(2s)/\zeta(s)$.

Sumas parciales: $L(x) = \sum_{n \le x} \lambda(n)$ y la hipótesis de Pólya

Definimos la función de Liouville parcial $L(x) = \sum_{n \le x} \lambda(n)$. Los primeros valores son: $L(1) = 1$, $L(2) = 0$, $L(3) = -1$, $L(4) = 0$, $L(5) = -1$, $L(6) = 0$, $L(7) = -1$, $L(8) = -2$, $L(9) = -1$, $L(10) = 0$.

La hipótesis de Pólya (1919) afirma que $L(x) \le 0$ para todo $x \ge 2$. En otras palabras: para todo $x \ge 2$, hay al menos tantos enteros en $\{1, \ldots, x\}$ con un número impar de factores primos (contados con multiplicidad) como con un número par.

Esta hipótesis fue refutada en 1958 por Haselgrove, quien demostró que $L(x) > 0$ para ciertos valores de $x$ enormes. El primer contraejemplo explícito fue encontrado en 1980 por Tanaka: $x = 906\,150\,257$. Para este valor, $L(x) = 1 > 0$.

La hipótesis de Pólya, aunque falsa, tiene aplicaciones en olimpiadas: el hecho de que $L(x)$ sea pequeño en valor absoluto implica que el número de enteros con $\Omega(n)$ par es aproximadamente igual al número con $\Omega(n)$ impar, lo que tiene consecuencias en conteos de olimpiada.

La relación $\lambda$ y $\mu$: cuándo coinciden y cuándo no

Para enteros libres de cuadrados ($\text{rad}(n) = n$), $\Omega(n) = \omega(n)$ (número de factores primos distintos) y $\lambda(n) = (-1)^{\omega(n)} = \mu(n)$. Así $\lambda$ y $\mu$ coinciden exactamente en los enteros libres de cuadrados.

Para $n$ con algún factor cuadrado: $\mu(n) = 0$ pero $\lambda(n) = \pm 1$. La diferencia $\lambda(n) - \mu(n)$ captura la "parte cuadrática" de $n$.

La identidad $\mu = \lambda \cdot \mathbf{1}_{\text{sf}}$ (donde $\mathbf{1}_{\text{sf}}$ es el indicador de libres de cuadrados) es incorrecta; la relación correcta es $\mu * \mathbf{1}_{\text{cuadrados}} = \lambda$, donde $\mathbf{1}_{\text{cuadrados}}(n) = 1$ si $n$ es un cuadrado perfecto y $0$ si no. Es decir, la convolución $\sum_{d^2 \mid n} \mu(n/d^2) = \lambda(n)$. Esta identidad, que puede verificarse en potencias de primo, une $\lambda$ y $\mu$ de manera precisa.

Para olimpiadas: en problemas que preguntan si una suma $\sum_{n \le x} \mu(n) f(n)$ o $\sum_{n \le x} \lambda(n) f(n)$ tiene signo definido, la diferencia entre $\mu$ y $\lambda$ es crucial.

Aplicaciones a conteos en olimpiadas

Conteo de cuadrados con sumas de Möbius. La identidad $\sum_{d \mid n} \lambda(d) = [n = m^2]$ permite reescribir sumas sobre cuadrados como sumas con pesos $\lambda$: $\sum_{m^2 \le x} g(m^2) = \sum_{n \le x} g(n) \sum_{d \mid n} \lambda(d)$, intercambiando la suma sobre $d$ con la suma sobre $n$ para obtener $\sum_{d \le x} \lambda(d) \sum_{n \le x, d \mid n} g(n)$. Esta técnica es un "tamiz con $\lambda$".

Problema IMO-tipo. ¿Cuántos $n \le x$ cumplen que $n$ y $n+1$ son ambos libres de cuadrados? La densidad es $\prod_p (1 - 2/p^2) \approx 0.3226$, un resultado analítico profundo. La herramienta clave es la función indicadora de libres de cuadrados $|\mu(n)|$, que tiene series de Dirichlet $\zeta(s)/\zeta(2s)$, y la correlación entre $|\mu(n)|$ y $|\mu(n+1)|$ se analiza con la función $\lambda$.

**Signo de $\lambda$ y potencias de 2.** Un resultado olímpico clásico: para todo $n$, la suma $\sum_{d \mid n, d \text{ impar}} \lambda(d)$ vale $\lambda(\text{parte impar de } n) \cdot [n \text{ es cuadrado completo}]$... más sencillamente, $\sum_{d \mid n} \lambda(d) [2 \nmid d]$ está ligada a la paridad del exponente de 2 en $n$. Estas sumas aparecen en problemas que piden contar enteros con ciertos patrones de factorización.

La hipótesis de Riemann y $\lambda$: el vínculo con olimpiadas avanzadas

La hipótesis de Riemann (HR) es equivalente a la afirmación: $L(x) = O(x^{1/2 + \varepsilon})$ para todo $\varepsilon > 0$. En otras palabras, la diferencia entre el número de enteros con $\Omega$ par e impar es mucho más pequeña que $\sqrt{x}$ en orden de magnitud.

Aunque la HR es un problema abierto, su equivalencia con el comportamiento de $L(x)$ proporciona una intuición poderosa para problemas de olimpiadas: la función $\lambda$ "alterna de signo" suficientemente a menudo para que las sumas parciales sean pequeñas.

En el nivel de selectivos IMO, lo que importa es la identidad analítica $\sum_n \lambda(n)/n^s = \zeta(2s)/\zeta(s)$ y sus consecuencias combinatorias: por ejemplo, la densidad de enteros $n$ con $\lambda(n) = 1$ (número par de factores primos) y de los con $\lambda(n) = -1$ (número impar) son ambas iguales a $1/2$ en el sentido de densidad natural (Dirichlet). Esto puede demostrarse elementalmente usando la identidad de suma sobre divisores.

En problemas de conteo olímpico, el argumento más frecuente es: "Sea $S_+(x)$ (resp. $S_-(x)$) el número de $n \le x$ con $\lambda(n) = 1$ (resp. $-1$). Entonces $S_+(x) + S_-(x) = x$ y $S_+(x) - S_-(x) = L(x)$. Como $|L(x)| = o(x)$ (se puede demostrar elementalmente usando la identidad de cuadrados), $S_+(x)$ y $S_-(x)$ son ambos $x/2 + o(x)$."