Sumas de Gauss: cálculo y aplicaciones a residuos cuadráticos

¿Qué es una suma de Gauss?

Sea $p$ un primo impar y $\chi$ un carácter multiplicativo módulo $p$: una función $\chi: (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^* \to \mathbb{C}^*$ que satisface $\chi(mn) = \chi(m)\chi(n)$, extendida a todo $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ con $\chi(0) = 0$. La suma de Gauss asociada a $\chi$ es:

$G(\chi) = \sum_{n=0}^{p-1} \chi(n)\, e^{2\pi i n/p}.$

El caso central en olimpiadas es el del símbolo de Legendre $\chi = \left(\frac{\cdot}{p}\right)$: recordemos que $\left(\frac{n}{p}\right) = +1$ si $n$ es residuo cuadrático no nulo módulo $p$, $-1$ si es no-residuo, y $0$ si $p \mid n$.

La suma de Gauss cuadrática es entonces $G = \sum_{n=0}^{p-1} \left(\frac{n}{p}\right) e^{2\pi i n/p}$.

Estas sumas son el análogo en teoría de números de la transformada de Fourier discreta: mezclan la estructura multiplicativa (el carácter $\chi$) con la estructura aditiva (las raíces de la unidad $e^{2\pi i n/p}$). Esta mezcla es precisamente lo que las hace poderosas.

El teorema fundamental: $|G(\chi)|^2 = p$

Teorema. Si $\chi$ es un carácter no principal módulo $p$ (es decir, $\chi \ne \chi_0$, el carácter trivial que vale $1$ en todo $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$), entonces $|G(\chi)|^2 = p$.

Demostración. Calculamos directamente:

$|G(\chi)|^2 = G(\chi)\overline{G(\chi)} = \sum_{m=0}^{p-1}\sum_{n=0}^{p-1} \chi(m)\overline{\chi(n)}\, e^{2\pi i(m-n)/p}.$

Como $|\chi(n)| = 1$ para $\gcd(n,p) = 1$, tenemos $\overline{\chi(n)} = \chi(n)^{-1} = \chi(n^{-1})$. Para $n \ne 0$ hacemos el cambio $m = nt$, con $t$ recorriendo $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$:

$|G(\chi)|^2 = \sum_{t=0}^{p-1} \chi(t) \underbrace{\sum_{n=0}^{p-1} e^{2\pi i n(t-1)/p}}_{= p\,[t \equiv 1] \text{ ó } 0}.$

La suma interior es $p$ si $t \equiv 1 \pmod{p}$ y $0$ en caso contrario (suma de raíces de la unidad). Queda $|G(\chi)|^2 = \chi(1) \cdot p = p$, pues $\chi(1) = 1$. $\square$

Consecuencia inmediata: $|G(\chi)| = \sqrt{p}$. Esto significa que las sumas de Gauss tienen módulo exactamente $\sqrt{p}$, y su argumento (fase) codifica información profunda sobre el carácter.

El signo de la suma de Gauss cuadrática

Para el símbolo de Legendre, la identidad $|G|^2 = p$ no determina el signo de $G$. Gauss pasó cuatro años buscando la demostración de que:

$G = \sum_{n=0}^{p-1} e^{2\pi i n^2/p} = \begin{cases} \sqrt{p} & \text{si } p \equiv 1 \pmod{4}, \\ i\sqrt{p} & \text{si } p \equiv 3 \pmod{4}. \end{cases}$

Esto puede escribirse uniformemente como $G^2 = (-1)^{(p-1)/2} p = \left(\frac{-1}{p}\right) p$.

**Demostración de $G^2 = \left(\frac{-1}{p}\right) p$.** Calculamos $G^2 = \sum_{m,n=0}^{p-1} e^{2\pi i(m^2+n^2)/p}$. Con el cambio $m = a+b$, $n = a-b$ (biyección módulo $p$ cuando $p$ es impar): $m^2 + n^2 = 2a^2 + 2b^2$. La suma factoriza (aproximadamente) en el producto de dos sumas de Gauss modificadas. El cálculo completo da $G^2 = \sum_{a=0}^{p-1} e^{2\pi i \cdot 2a^2/p} \cdot \sum_{b} e^{2\pi i \cdot 2b^2/p} \cdot (\text{factor de Legendre de } -1)$.

El resultado $G^2 = \left(\frac{-1}{p}\right) p$ se demuestra rigurosamente contando: $G^2 = \sum_{c=0}^{p-1} \left(\sum_{n: n^2 \equiv c} 1\right) e^{2\pi i c/p} = \sum_c \left(1 + \left(\frac{c}{p}\right)\right) e^{2\pi ic/p}$ y usando propiedades del símbolo de Legendre.

Para olimpiadas basta recordar: $G \in \{\sqrt{p},\, -\sqrt{p},\, i\sqrt{p},\, -i\sqrt{p}\}$ y $G^2 = \left(\frac{-1}{p}\right) p$.

Reciprocidad cuadrática via sumas de Gauss

La ley de reciprocidad cuadrática de Gauss afirma: para primos impares distintos $p \ne q$,

$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}.$

La demostración elegante vía sumas de Gauss funciona así. Sea $G_p = \sum_{n=0}^{p-1} \left(\frac{n}{p}\right) e^{2\pi i n/p}$ con $G_p^2 = \left(\frac{-1}{p}\right) p$. Trabajamos en $\mathbb{Z}[\zeta_p][\zeta_q]$ (anillo de enteros con raíces de unidad). Calculamos $G_p^q$ de dos maneras:

Vía 1. $G_p^q \equiv \left(\sum_{n} \left(\frac{n}{p}\right) e^{2\pi i n/p}\right)^q \equiv \sum_n \left(\frac{n}{p}\right)^q e^{2\pi i nq/p} \pmod{q}$. Como $\left(\frac{n}{p}\right)^q \equiv \left(\frac{n}{p}\right) \pmod{q}$ (el símbolo vale $\pm 1$ y $q$ es primo impar), obtenemos $G_p^q \equiv \left(\frac{q}{p}\right) G_p \pmod{q}$ (usando el hecho de que $\sum_n \left(\frac{n}{p}\right) e^{2\pi i nq/p} = \left(\frac{q}{p}\right) G_p$ por la propiedad $G(\chi \cdot \chi_0) = \overline{\chi}(q) G(\chi)$).

Vía 2. $G_p^q = (G_p^2)^{(q-1)/2} \cdot G_p = \left(\left(\frac{-1}{p}\right) p\right)^{(q-1)/2} G_p \equiv \left(\frac{-1}{p}\right)^{(q-1)/2} p^{(q-1)/2} G_p \equiv \left(\frac{-1}{p}\right)^{(q-1)/2} \left(\frac{p}{q}\right) G_p \pmod{q}$ (por el criterio de Euler: $p^{(q-1)/2} \equiv \left(\frac{p}{q}\right) \pmod{q}$).

Igualando Vía 1 y Vía 2: $\left(\frac{q}{p}\right) \equiv \left(\frac{-1}{p}\right)^{(q-1)/2} \left(\frac{p}{q}\right) \pmod{q}$. Como ambos lados son $\pm 1$ y $q > 2$, la congruencia es una igualdad: $\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = \left(\frac{-1}{p}\right)^{(q-1)/2} = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}$. $\square$

Conteo de soluciones: $N(x^2 + y^2 \equiv 1 \pmod{p})$

Uno de los usos más directos de sumas de caracteres es contar soluciones de ecuaciones cuadráticas módulo $p$.

Proposición. El número de pares $(x,y) \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$ con $x^2 + y^2 \equiv 1 \pmod{p}$ es $N = p - \left(\frac{-1}{p}\right)$.

Solución. Para cada $x$, el número de $y$ con $y^2 \equiv 1 - x^2$ es $1 + \left(\frac{1-x^2}{p}\right)$ (con la convención $\left(\frac{0}{p}\right) = 0$, salvo sumar el caso $y = 0$ aparte). Entonces:

$N = \sum_{x=0}^{p-1} \left(1 + \left(\frac{1-x^2}{p}\right)\right) = p + \sum_{x=0}^{p-1}\left(\frac{1-x^2}{p}\right).$

Evaluamos $S = \sum_{x=0}^{p-1}\left(\frac{1-x^2}{p}\right)$. Escribimos $1 - x^2 = (1-x)(1+x)$. Para $x \ne \pm 1$ (los $p - 2$ valores restantes), el símbolo $\left(\frac{(1-x)(1+x)}{p}\right) = \left(\frac{1-x}{p}\right)\left(\frac{1+x}{p}\right)$. Cuando $x$ recorre $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \setminus \{\pm 1\}$, los pares $(1-x, 1+x)$ recorren todos los pares $(u,v)$ con $u + v \equiv 2$, $u, v \ne 0$. La suma $\sum_{u \ne 0, u \ne 2} \left(\frac{u(2-u)}{p}\right)$ se calcula con el cambio $u = 1 + t$: $\sum_{t \ne \pm 1}\left(\frac{(1-t^2)\cdot(-1)}{p}\right)$... En resumen, el cálculo completo da $S = -\left(\frac{-1}{p}\right)$, por lo que $N = p - \left(\frac{-1}{p}\right)$.

Resultado explícito: $N = p - 1$ si $p \equiv 1 \pmod{4}$ (el círculo $x^2 + y^2 = 1$ tiene $p-1$ puntos en $\mathbb{F}_p$), y $N = p + 1$ si $p \equiv 3 \pmod{4}$. Este "exceso" de puntos cuando $p \equiv 3 \pmod 4$ está relacionado con la teoría de curvas elípticas sobre campos finitos.