Simulacro ONEM Geometría

Instrucciones del simulacro

Este simulacro replica el formato de la ronda regional ONEM de geometría: cuatro problemas de dificultad creciente, tiempo sugerido 60 minutos.

En geometría ONEM los problemas más frecuentes son: (a) calcular ángulos o longitudes usando relaciones en círculos y triángulos, (b) demostrar concurrencia o colinealidad, (c) calcular áreas mediante semejanza o trigonometría, (d) aplicar el teorema de Pitágoras o sus generalizaciones.

Antes de escribir, dibuja la figura con cuidado, marca los datos y la condición pedida. Un buen diagrama suele revelar el camino.

Problema 1 (Nivel 1): Ángulo inscrito

Problema G1. En un círculo de centro $O$, el arco $\widehat{AB}$ (el menor) mide $120°$. Calcula el ángulo inscrito $\angle ACB$ donde $C$ es cualquier punto del arco mayor.

Solución. Por el Teorema del Ángulo Inscrito: el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco.

El arco menor $\widehat{AB}$ mide $120°$, así el ángulo central $\angle AOB = 120°$. El ángulo inscrito $\angle ACB$ (con $C$ en el arco mayor) subtiende el arco menor $\widehat{AB}$:

$\angle ACB = \dfrac{\angle AOB}{2} = \dfrac{120°}{2} = 60°$.

Problema 2 (Nivel 1-2): Área con semejanza

Problema G2. En el triángulo $\triangle ABC$, $DE \parallel BC$ con $D \in AB$ y $E \in AC$, y $AD/DB = 1/2$. Si el área de $\triangle ABC$ es $27$, calcula el área de $\triangle ADE$.

Solución. Como $DE \parallel BC$, el triángulo $\triangle ADE$ es semejante a $\triangle ABC$. La razón de semejanza es $AD/AB$.

$AD/DB = 1/2$ implica $AD = (1/3) AB$ (pues $AD + DB = AB$ y $DB = 2 AD$).

La razón de semejanza es $k = AD/AB = 1/3$. La razón de áreas es $k^2 = 1/9$.

$[\triangle ADE] = \frac{1}{9} [\triangle ABC] = \frac{27}{9} = 3$.

Problema 3 (Nivel 2): Longitud con Pitágoras extendido

Problema G3. En el triángulo $\triangle ABC$, $\angle B = 90°$, $AB = 5$, $BC = 12$. $M$ es el punto medio de $AC$. Calcula $BM$.

Solución. Por el Teorema de Pitágoras: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$.

La mediana $BM$ de un triángulo rectángulo en $B$ cumple la propiedad especial: en un triángulo rectángulo, la mediana a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.

Esto se debe a que $B$ se inscribe en el círculo de diámetro $AC$ (por el recíproco del Teorema de Thales). El centro de ese círculo es $M$ (punto medio de la hipotenusa), y el radio es $AC/2 = 13/2$. Como $B$ está en el círculo, $BM = 13/2$.

Problema 4 (Nivel 2-3): Cuadrilátero y ángulos

Problema G4. Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia (cíclico). Si $\angle DAB = 75°$ y $\angle ABC = 110°$, calcula $\angle BCD$ y $\angle CDA$.

Solución. En un cuadrilátero cíclico, los ángulos opuestos son suplementarios: $\angle DAB + \angle BCD = 180°$ y $\angle ABC + \angle CDA = 180°$.

$\angle BCD = 180° - \angle DAB = 180° - 75° = 105°$.

$\angle CDA = 180° - \angle ABC = 180° - 110° = 70°$.

Verificación: suma de los cuatro ángulos $= 75° + 110° + 105° + 70° = 360°$. ✓