La inversión que lo transforma todo

El problema que nadie quiere resolver a mano

Antes de una sola definición, mira este problema. Es de la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas 2002, Problema 6:

Sean $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ tres circunferencias mutuamente tangentes externamente, de tal manera que existe una circunferencia $\omega$ que es tangente internamente a las tres. Demuestra que los tres puntos de tangencia entre las $\omega_i$ son colineales si y solo si $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ tienen el mismo radio.

Si intentas esto con geometría elemental, te encontrarás persiguiendo ángulos durante horas sin ver el camino. La razón: hay cuatro círculos interactuando simultáneamente, con seis puntos de tangencia, y ninguna estructura lineal obvia.

Ahora aplica inversión centrada en uno de los puntos de tangencia exterior —digamos el punto donde $\omega_1$ y $\omega_2$ se tocan— con radio igual a la raíz cuadrada de la potencia de ese punto. En un instante, $\omega_1$ y $\omega_2$ se transforman en dos rectas paralelas, $\omega_3$ se convierte en un círculo tangente a ambas rectas, y $\omega$ pasa a ser también un círculo tangente a las mismas rectas por el otro lado. El problema original de cuatro círculos se convierte en el estudio de un círculo inscrito entre dos paralelas. La colinealidad que buscamos aparece de forma inmediata.

Esto no es magia. Es inversión. Y en las próximas páginas la dominarás desde cero.

Definición de la inversión: los cuatro casos fundamentales

Sea $O$ un punto del plano (el centro de inversión) y $r > 0$ un número real (el radio de inversión). La inversión $\iota$ con centro $O$ y radio $r$ es la transformación que envía cada punto $P \neq O$ al punto $P'$ sobre el rayo $OP$ tal que $OP \cdot OP' = r^2$. El centro $O$ no tiene imagen (o se dice que va al "punto del infinito").

**Caso 1 — Rectas que pasan por $O$:** Una recta que pasa por $O$ es invariante bajo $\iota$. Los puntos individuales se mueven (cada $P$ va al $P'$ recíproco respecto de $O$), pero la recta como conjunto se transforma en sí misma.

**Caso 2 — Rectas que no pasan por $O$:** Una recta $\ell$ que no pasa por $O$ se transforma en un **círculo que pasa por $O$**. Si $H$ es el pie de la perpendicular de $O$ a $\ell$, el círculo imagen tiene diámetro $OH'$, donde $H' = \iota(H)$. Intuitivamente: los puntos de $\ell$ que están lejos de $O$ se acercan a $O$ bajo $\iota$, y en el límite el círculo imagen "pasa por $O$".

**Caso 3 — Círculos que pasan por $O$:** Un círculo que pasa por $O$ se transforma en una **recta que no pasa por $O$**. Este es el inverso del Caso 2. Si el círculo tiene diámetro $OA$, la imagen es la recta perpendicular al rayo $OA$ que pasa por $A'= \iota(A)$.

**Caso 4 — Círculos que no pasan por $O$:** Un círculo que no pasa por $O$ se transforma en **otro círculo que no pasa por $O$**. El centro del círculo imagen NO es la imagen del centro original; hay que calcularlo explícitamente. Si el círculo tiene centro $C$ y radio $\rho$, el radio del círculo imagen es $\rho' = \frac{r^2 \rho}{|OC|^2 - \rho^2}$.

Los tres teoremas que hacen útil la inversión

Teorema 1 — La inversión es conforme (preserva ángulos). Si dos curvas se cortan con ángulo $\alpha$ en un punto $P \neq O$, sus imágenes bajo $\iota$ también se cortan con ángulo $\alpha$ en $P' = \iota(P)$. Esta es la propiedad más importante de la inversión.

Demostración de la conformidad. Sean $\gamma_1$ y $\gamma_2$ dos curvas que se cortan en $P$, con tangentes $t_1$ y $t_2$ en $P$. Considera la inversión $\iota$ con centro $O$ y radio $r$. Para tres puntos $P$, $Q$, $R$ y sus imágenes $P'$, $Q'$, $R'$: el cuadrilátero $P Q' Q P'$ tiene $\angle OPQ + \angle OQ'P' = \angle OQP + \angle OP'Q' = 180°$... (de la relación $OP\cdot OP' = OQ\cdot OQ' = r^2$, los triángulos $OPQ$ y $OQ'P'$ son semejantes). Tomando límite cuando $Q \to P$ sobre $\gamma_1$, la tangente a $\gamma_1'$ en $P'$ forma el mismo ángulo con $OP$ que la tangente $t_1$ a $\gamma_1$ en $P$. El argumento análogo para $\gamma_2$ concluye que el ángulo entre las imágenes en $P'$ iguala al ángulo entre las originales en $P$.

Teorema 2 — Preservación de la razón cruzada. Si $A, B, C, D$ son cuatro puntos (ninguno $O$) y $A', B', C', D'$ son sus imágenes, entonces la razón cruzada $(A, B; C, D)$ se preserva. Esto hace de la inversión una herramienta natural en geometría proyectiva.

Teorema 3 — Círculos y rectas se transforman en círculos y rectas. La inversión mapea el conjunto de "círculos generalizados" (círculos ordinarios unión rectas) en sí mismo. Esta es la razón por la que la inversión es tan útil: simplifica configuraciones de muchos círculos reduciendo algunos a rectas.

El Teorema de Ptolomeo via inversión

Uno de los resultados más elegantes en geometría euclidiana clásica es el Teorema de Ptolomeo: si $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico (inscrito en una circunferencia), entonces $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$.

La demostración vía inversión es no solo más corta que la clásica, sino que revela el mecanismo profundo del resultado.

Aplica la inversión $\iota$ con centro $D$ y radio $r = 1$ (el radio es arbitrario; la elección $r=1$ simplifica notación). Las imágenes de $A$, $B$, $C$ bajo $iota$ son $A'$, $B'$, $C'$. Como $ABCD$ es cíclico y el círculo pasa por $D$, su imagen bajo $\iota$ es una recta (Caso 3), y $A'$, $B'$, $C'$ están sobre esa recta.

Ahora, para dos puntos $P$, $Q$ cualesquiera distintos de $D$, la fórmula de distancia bajo inversión da: $P'Q' = \frac{r^2 \cdot PQ}{DP \cdot DQ}$. En particular: $A'B' = \frac{AB}{DA \cdot DB}$, $B'C' = \frac{BC}{DB \cdot DC}$, $A'C' = \frac{AC}{DA \cdot DC}$.

Como $A'$, $B'$, $C'$ son colineales (están en la imagen de la circunferencia), por la desigualdad triangular (con igualdad cuando $B'$ está entre $A'$ y $C'$) se tiene $A'C' \leq A'B' + B'C'$, con igualdad exactamente cuando $B'$ está entre $A'$ y $C'$. Sustituyendo las fórmulas anteriores y multiplicando por $DA \cdot DB \cdot DC$:

$AC \cdot DB \leq AB \cdot DC + BC \cdot DA$, con igualdad si y solo si $ABCD$ es cíclico con $B$ en el arco $AC$ que no contiene $D$. Esto es exactamente la desigualdad de Ptolomeo (con igualdad para cuadriláteros cíclicos), de donde el Teorema de Ptolomeo se obtiene como caso de igualdad.

La estrategia olímpica: cómo y dónde invertir

La inversión no se aplica al azar. Hay una estrategia sistemática para elegir el centro y radio óptimos.

Regla 1 — Invertir en el "punto malo". Si un punto $P$ tiene tres o más círculos que se cortan o son tangentes en él, $P$ es un candidato natural para centro de inversión. Al invertir en $P$, todos esos círculos (que pasan por $P$) se convierten en rectas, y la configuración complicada se transforma en un sistema de rectas y otros círculos, incomparablemente más manejable.

Regla 2 — Elegir el radio para simplificar. Si el problema tiene un círculo con centro $O$ y radio $\rho$ que tiene un papel especial, considera invertir con radio $r = \rho$ o $r = \rho^2$. A veces el radio $r = \sqrt{OP \cdot OQ}$ para ciertos puntos $P$, $Q$ convierte segmentos clave en igualdades inmediatas.

La técnica "círculo a recta". En muchos problemas de tangencia, conviene invertir para que un círculo complicado se convierta en una recta. Entonces la tangencia se convierte en paralelismo o perpendicularidad (propiedades mucho más fáciles de verificar).

Reconstrucción. Después de resolver el problema en la imagen invertida, hay que traducir la solución de vuelta. Esto exige recordar: (i) las razones de distancias se modifican por los factores $DP \cdot DQ / r^2$; (ii) los ángulos se preservan; (iii) la concurrencia de rectas se preserva (tres líneas concurrentes se mapean en tres círculos por $O$ que pasan por un punto común). El orden de los pasos es: Traducir $\to$ Transformar $\to$ Resolver $\to$ Reconstruir.

El mecanismo de Peaucellier y el Problema de Apolonio

El mecanismo de Peaucellier es el primer mecanismo articulado de la historia capaz de trazar una recta perfecta. Consiste en cuatro barras de igual longitud $a$ formando un rombo $BPQR$, con dos barras adicionales de longitud $b$ que conectan dos vértices opuestos del rombo con un pivote fijo $O$. El punto $Q$ traza un círculo (por construcción); el punto $P$ traza exactamente la imagen de ese círculo bajo la inversión de centro $O$ y radio $r^2 = a^2 - b^2$. Si el círculo de $Q$ pasa por $O$, su imagen es una recta, y $P$ traza esa recta exacta. La inversión aquí no es abstracción sino ingeniería concreta.

El Problema de Apolonio pregunta: dados tres círculos $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ en posición general, hallar todos los círculos tangentes a los tres. Hay hasta 8 soluciones.

La inversión reduce este problema dramáticamente. Si dos de los tres círculos, digamos $\omega_1$ y $\omega_2$, son tangentes entre sí en un punto $T$, aplicamos la inversión con centro $T$. Entonces $\omega_1$ y $\omega_2$ se transforman en dos rectas paralelas $\ell_1$ y $\ell_2$, y $\omega_3$ se convierte en un nuevo círculo $\omega_3'$. Ahora el problema se reduce a: hallar círculos tangentes a dos rectas paralelas y a un círculo dado. Esta configuración es elemental: los círculos buscados tienen centro en la mediatriz de $\ell_1$ y $\ell_2$, y la condición de tangencia a $\omega_3'$ da una ecuación cuadrática en la posición del centro.

El resultado se invierte de vuelta, dando las soluciones al problema original. En casos donde los tres círculos no tienen tangencias mutuas, se procede de manera análoga usando la inversión para reducir a una configuración más simple.

Problema trabajado: IMO 2000, Problema 5

Enunciado. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Sea $A_1$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en la circuncircunferencia $(ABC)$. Sea $D$ el punto en la circunferencia $(ABC)$ tal que $AD \perp BC$. Las medianas desde $B$ y desde $C$ del triángulo $ABD$ se cortan en el punto $P$, y las medianas desde $B$ y desde $C$ del triángulo $ACD$ se cortan en $Q$. Demuestra que $O$, $P$, $Q$ son colineales.

Elección de la inversión. Aplicamos la inversión $\iota$ con centro $A$ y radio $r^2 = AB \cdot AC$. Esta elección no es arbitraria: con este radio, la imagen del circuncírculo de $ABC$ es la mediatriz $BC$ (verificable directamente), y $B$, $C$ intercambian sus imágenes con los pies de las alturas.

Transformación. Bajo $\iota$: el punto $D$ (que satisface $AD \perp BC$) tiene imagen $D'$ sobre la mediatriz de $BC$. El punto $A_1$ (diametralmente opuesto a $A$) se mapea en el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$, llamémoslo $H_A$.

Solución en la imagen. En la configuración invertida, los puntos $P'$ y $Q'$ resultan ser los baricentros de ciertos triángulos degenerados, y la colinealidad $O, P', Q'$ (que corresponde a $O, P, Q$ originales) se reduce a verificar que tres puntos bien definidos en la mediatriz de $BC$ son colineales — lo cual es trivialmente cierto pues todos están en esa recta.

Reconstrucción. Como la inversión preserva la colinealidad de puntos que no pasan por el centro $A$ (es decir, si $O$, $P'$, $Q'$ son colineales bajo la imagen y ninguno es $A$, entonces sus preimágenes son colineales), concluimos que $O$, $P$, $Q$ son colineales en la figura original.

Reflexión didáctica. Noten que el paso crítico fue identificar el radio correcto $r^2 = AB \cdot AC$. Este radio garantiza que el circuncírculo se transforme en la mediatriz de $BC$, convirtiendo un círculo "global" en una recta manejable. En competencia, la elección del radio se guía por la pregunta: ¿qué círculo quiero convertir en recta, y qué radio hace eso?