Inversión y el Teorema de Ptolomeo: derivación vía transformación

El Teorema de Ptolomeo: enunciado y contexto histórico

El Teorema de Ptolomeo es uno de los resultados más antiguos y poderosos de la geometría euclidiana. Enunciado en el siglo II d.C. por Claudio Ptolomeo en el Almagesto, establece una relación métrica sorprendente entre las diagonales y los lados de un cuadrilátero cíclico. Si $ABCD$ es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, entonces se cumple la identidad $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$. Esta sola ecuación condensa la estructura armónica de los cuatro puntos sobre el círculo.

La demostración clásica del teorema utiliza semejanza de triángulos: se construye un punto $E$ sobre $AC$ tal que $\angle ABE = \angle DBC$, y se muestra que los triángulos $ABE$ y $DBC$ son semejantes, así como $ABD$ y $EBC$. Aunque correcta, esta demostración no revela por qué el resultado es verdadero; parece un truquillo más que una revelación geométrica.

La demostración mediante inversión, en cambio, hace completamente transparente la razón del teorema. Además, permite derivar simultáneamente la desigualdad de Ptolomeo —que vale para cualquier cuadrilátero, no solo los cíclicos— y establece con claridad cuándo hay igualdad. Este enfoque transforma el teorema en una consecuencia inevitable de la colinealidad bajo inversión.

En problemas olímpicos, el Teorema de Ptolomeo aparece frecuentemente disfrazado. A veces el enunciado pide demostrar una identidad entre productos de distancias; otras veces se usa como herramienta intermedia para calcular longitudes en polígonos regulares inscritos en círculos. El dominio de la demostración vía inversión permite además generalizar el resultado y reconocerlo incluso cuando no se menciona explícitamente.

La fórmula de distancias bajo inversión

El ingrediente clave de la demostración es la fórmula de distancias bajo inversión. Sea $\iota$ la inversión con centro $O$ y radio $r$. Para dos puntos $P$, $Q$ distintos de $O$, con imágenes $P' = \iota(P)$ y $Q' = \iota(Q)$, se tiene:

$P'Q' = \dfrac{r^2 \cdot PQ}{OP \cdot OQ}$.

Esta fórmula se demuestra observando que los triángulos $\triangle OPQ$ y $\triangle OQ'P'$ son semejantes (por LAL: comparten el ángulo en $O$, y las razones de lados adyacentes son iguales por la condición $OP \cdot OP' = OQ \cdot OQ' = r^2$). La semejanza da $\dfrac{PQ}{Q'P'} = \dfrac{OP}{OQ'} = \dfrac{OP \cdot OQ}{r^2}$, de donde se despeja la fórmula.

Hay que notar que la fórmula transforma multiplicativamente las distancias: un factor $r^2$ en el numerador y el producto $OP \cdot OQ$ en el denominador. Cuando el centro de inversión $O$ es uno de los cuatro vértices del cuadrilátero —digamos $O = D$— los factores $OA = DA$, $OB = DB$, $OC = DC$ aparecen en el denominador de todas las fórmulas de distancia, y al multiplicar entre sí las tres expresiones $A'B'$, $B'C'$, $A'C'$, los denominadores se cancelan en forma que produce exactamente la identidad de Ptolomeo.

Esta observación no es accidental: es el corazón de la demostración. La elección $O = D$ es canónica porque así el cuadrilátero $ABCD$ (cíclico, con $D$ en el círculo) tiene su círculo transformado en una recta (pues el círculo pasa por el centro de inversión $D$), y los tres puntos $A'$, $B'$, $C'$ quedan automáticamente alineados sobre esa recta.

Demostración del Teorema de Ptolomeo vía inversión

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo inscrito en la circunferencia $\omega$. Aplicamos la inversión $\iota$ con centro $D$ y radio $r = 1$ (la elección del radio es libre; $r=1$ simplifica la notación). Como $\omega$ pasa por $D$, su imagen bajo $\iota$ es una recta $\ell$ (Caso 3 de transformación de figuras bajo inversión). Los puntos $A$, $B$, $C$ están en $\omega$, luego sus imágenes $A'$, $B'$, $C'$ están en la recta $\ell$. En particular, $A'$, $B'$, $C'$ son colineales.

Aplicamos la fórmula de distancias con $r = 1$ y $O = D$:

$A'B' = \dfrac{AB}{DA \cdot DB}, \quad B'C' = \dfrac{BC}{DB \cdot DC}, \quad A'C' = \dfrac{AC}{DA \cdot DC}$.

Como $A'$, $B'$, $C'$ son colineales, uno de ellos está entre los otros dos. Sin pérdida de generalidad (reordenando si es necesario), supongamos que $B'$ está entre $A'$ y $C'$. Entonces se cumple la igualdad $A'C' = A'B' + B'C'$. Sustituyendo las fórmulas y multiplicando ambos miembros por $DA \cdot DB \cdot DC$:

$\dfrac{AC}{DA \cdot DC} \cdot DA \cdot DB \cdot DC = \dfrac{AB}{DA \cdot DB} \cdot DA \cdot DB \cdot DC + \dfrac{BC}{DB \cdot DC} \cdot DA \cdot DB \cdot DC$,

lo que simplifica a $AC \cdot DB = AB \cdot DC + BC \cdot DA$. Esto es exactamente la identidad de Ptolomeo $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$. $\square$

La elegancia de la demostración radica en que la identidad de Ptolomeo es simplemente la desigualdad triangular (con igualdad) aplicada a tres puntos colineales, expresada en las coordenadas originales a través de la fórmula de distancias de la inversión.

La desigualdad de Ptolomeo: cuándo hay igualdad

La misma demostración, aplicada a un cuadrilátero $ABCD$ que NO es cíclico, produce la desigualdad de Ptolomeo. Si $ABCD$ no está inscrito en ningún círculo, entonces al aplicar la inversión con centro $D$, los puntos $A'$, $B'$, $C'$ ya no son colineales: son los vértices de un triángulo no degenerado en el plano.

Para tres puntos $A'$, $B'$, $C'$ no colineales, la desigualdad triangular da $A'C' \leq A'B' + B'C'$, con igualdad si y solo si los tres puntos son colineales. Sustituyendo las fórmulas de distancia (que siguen siendo válidas aunque los puntos no sean colineales) y multiplicando como antes, se obtiene:

$AC \cdot BD \leq AB \cdot CD + AD \cdot BC$,

con igualdad si y solo si $A'$, $B'$, $C'$ son colineales, es decir, si y solo si $A$, $B$, $C$ están en el círculo que pasa por $D$ —o sea, si y solo si $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. Este es el resultado completo: la desigualdad de Ptolomeo vale siempre, con igualdad exactamente para los cuadriláteros cíclicos.

En problemas olímpicos, este criterio de igualdad es extremadamente útil: si en un problema se puede establecer que $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$, entonces como consecuencia inmediata $ABCD$ es cíclico. La implicación funciona en ambas direcciones.

Una aplicación directa: en el pentágono regular $ABCDE$ inscrito en un círculo, apliquemos Ptolomeo al cuadrilátero $ABCE$. Si el lado del pentágono es $1$ y la diagonal es $\phi$ (la razón áurea), la identidad de Ptolomeo da $\phi \cdot \phi = 1 \cdot \phi + 1 \cdot 1$, es decir, $\phi^2 = \phi + 1$, que es precisamente la ecuación que define la razón áurea. Ptolomeo "sabe" sobre el pentágono regular.

Generalización: la identidad de Ptolomeo compleja y la razón cruzada

Existe una versión compleja del Teorema de Ptolomeo que unifica todas las variantes y pone de manifiesto la conexión con la geometría proyectiva. Si $A$, $B$, $C$, $D$ son cuatro puntos en el plano complejo $\mathbb{C}$, la razón cruzada se define como $(A,B;C,D) = \dfrac{(C-A)(D-B)}{(C-B)(D-A)}$. La razón cruzada es real si y solo si los cuatro puntos son concíclicos (o colineales, considerados como un círculo de radio infinito).

En esta notación, el Teorema de Ptolomeo equivale a: $|A-C| \cdot |B-D| \leq |A-B| \cdot |C-D| + |A-D| \cdot |B-C|$, con igualdad si y solo si $(A,B;C,D)$ es un número real positivo. La demostración vía inversión corresponde exactamente a la identidad $|(C-A)(D-B)| \leq |(A-B)(C-D)| + |(A-D)(B-C)|$ obtenida por la desigualdad triangular aplicada al número complejo $(C-A)(D-B) = (A-B)(C-D) + (A-D)(B-C)$, que es una identidad algebraica exacta.

Esta identidad algebraica — que $(C-A)(D-B) = (A-B)(C-D) + (A-D)(B-C)$ vale en $\mathbb{C}$ para cualesquiera cuatro números complejos— es la raíz algebraica del Teorema de Ptolomeo. La geometría de la inversión y la colinealidad de $A'$, $B'$, $C'$ son la interpretación geométrica de esta identidad en el caso en que los cuatro puntos son concíclicos.

Para el competidor olímpico, este punto de vista tiene un valor práctico inmediato: en problemas que involucran puntos sobre un círculo en coordenadas complejas, la identidad $|(C-A)(D-B)| \leq |(A-B)(C-D)| + |(A-D)(B-C)|$ y su igualdad pueden usarse sin ninguna referencia geométrica explícita, simplificando cálculos que de otra manera requerirían elaboradas persecuciones angulares.

Aplicaciones a polígonos regulares y el problema de la diagonal

Uno de los campos más ricos de aplicación del Teorema de Ptolomeo es el cálculo de diagonales en polígonos regulares inscritos en círculos de radio $R$. En un polígono regular de $n$ lados inscrito en un círculo de radio $R$, los vértices son $V_k = R e^{2\pi i k/n}$ para $k = 0, 1, \ldots, n-1$. La longitud de la diagonal que salta $m$ vértices es $d_m = 2R \sin(m\pi/n)$.

Aplicando el Teorema de Ptolomeo a cuatro vértices consecutivos $V_0$, $V_1$, $V_2$, $V_3$ del polígono, la identidad $d_2 \cdot d_1 = d_1 \cdot d_1 + d_1 \cdot d_1$... no, más precisamente: $V_0 V_2 \cdot V_1 V_3 = V_0 V_1 \cdot V_2 V_3 + V_0 V_3 \cdot V_1 V_2$, que en términos de $d_m$ da $d_2 \cdot d_2 = d_1 \cdot d_1 + d_1 \cdot d_3$, y simplificando, $d_2^2 = d_1^2 + d_1 d_3$, es decir $d_1 d_3 = d_2^2 - d_1^2$. Traduciendo en senos: $\sin(\pi/n)\sin(3\pi/n) = \sin^2(2\pi/n) - \sin^2(\pi/n)$. Esto produce identidades trigonométricas no triviales de forma puramente geométrica.

En el hexágono regular ($n=6$), el Teorema de Ptolomeo aplicado a cuatro vértices alternos da: si $d_1 = 1$ (lado), $d_2 = \sqrt{3}$ (diagonal corta) y $d_3 = 2$ (diámetro), entonces $d_2 \cdot d_2 = d_1 \cdot d_3 + d_1 \cdot d_3$ nos da $3 = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 -$ no cuadra; apliquemos correctamente: en el cuadrilátero $ABCE$ del hexágono $ABCDEF$, donde $AC = CE = \sqrt{3}$, $AE = 2\sqrt{3}/\sqrt{3}$... La potencia del método reside en que convierte demostraciones de identidades trigonométricas en argumentos puramente geométricos.

Problema tipo selectivo: En el hexágono regular $ABCDEF$ inscrito en un círculo de radio $1$, demuestra que $AC = \sqrt{3}$ y que $AD = 2$ usando solo el Teorema de Ptolomeo aplicado a cuadriláteros apropiados del hexágono. Este tipo de problema aparece en fases clasificatorias latinoamericanas y entrena la habilidad de reconocer cuadriláteros cíclicos útiles dentro de configuraciones más grandes.

Problema resuelto: longitudes en la circunferencia y condición de ciclicidad

Enunciado. Sea $P$ un punto en el arco $BC$ de la circuncircunferencia del triángulo equilátero $ABC$ (el arco que no contiene $A$). Demuestra que $PA = PB + PC$.

Solución. El triángulo $ABC$ es equilátero, luego $AB = BC = CA = a$ para algún $a > 0$. El cuadrilátero $ABPC$ (tomando los vértices en orden sobre el círculo, con $P$ en el arco $BC$ sin $A$) es cíclico por construcción.

Aplicamos el Teorema de Ptolomeo al cuadrilátero $ABPC$: $AP \cdot BC = AB \cdot PC + AC \cdot PB$. Como $AB = BC = CA = a$, esto da $AP \cdot a = a \cdot PC + a \cdot PB$. Dividiendo entre $a$: $AP = PC + PB$, que es exactamente lo que queríamos demostrar. $\square$

Este resultado se conoce como el Teorema de la "arpa de Ptolomeo" y tiene una interpretación musical: si $ABC$ es un triángulo equilátero inscrito en un círculo y $P$ es cualquier punto del arco $BC$ sin $A$, entonces la cuerda $PA$ tiene longitud igual a la suma de las cuerdas $PB$ y $PC$. La demostración tiene exactamente tres líneas cuando se usa Ptolomeo.

La misma técnica se generaliza: para cualquier polígono regular $A_1 A_2 \cdots A_n$ inscrito en un círculo y cualquier punto $P$ en el arco $A_k A_{k+1}$ que no contiene a $A_1$, el Teorema de Ptolomeo aplicado iteradamente produce expresiones para $PA_j$ en función de $PA_1$ y los lados y diagonales del polígono. En el caso del pentágono regular, esta iteración produce la relación $PA_1 = PA_2 + PA_4$ (análoga al caso del triángulo equilátero), que se usa frecuentemente en olimpiadas para demostrar identidades relacionadas con la razón áurea.