El problema de Apolonio y la técnica de reducción

El Problema de Apolonio: tres círculos dados, encontrar los círculos tangentes

El Problema de Apolonio es uno de los problemas de construcción más célebres de la geometría clásica. Formulado por Apolonio de Perga alrededor del año 200 a.C. y redescubierto repetidamente a lo largo de los siglos, pregunta: dados tres círculos $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ en posición general en el plano, hallar todos los círculos $\gamma$ que son simultáneamente tangentes a los tres.

La dificultad del problema reside en su generalidad. Cada par de círculos puede estar en una de tres posiciones relativas (exterior, interior, concéntrico), y para cada círculo $\omega_i$ la tangencia de $\gamma$ puede ser interna o externa. Esto produce en principio $2^3 = 8$ tipos de tangencia, y en cada tipo puede haber $0$, $1$ o $2$ círculos solución. En el caso genérico (tres círculos en posición general sin intersecciones mutuas) hay exactamente ocho soluciones, una por cada combinación de tangencias.

La solución original de Apolonio se perdió; solo se conserva la reconstrucción de Vieta (siglo XVI). Descartes desarrolló en el siglo XVII la ecuación que lleva su nombre: si cuatro círculos son mutuamente tangentes y tienen curvaturas $k_1$, $k_2$, $k_3$, $k_4$ (donde la curvatura es el recíproco del radio, con signo positivo para tangencia externa y negativo para interna), entonces $(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2)$. Esta ecuación de Descartes es una herramienta potente pero no generaliza directamente al caso no tangente.

La inversión es el método más sistemático para resolver el Problema de Apolonio porque reduce el problema a configuraciones más simples sin perder soluciones. El principio general es: aplicar una inversión que transforme uno o dos de los círculos dados en rectas, simplificando el problema de "tangente a tres círculos" al problema de "tangente a dos rectas y un círculo" (o incluso "tangente a dos rectas paralelas y un círculo"), que es elemental.

Inversión para reducir el Problema de Apolonio

La estrategia más eficiente para el Problema de Apolonio depende de la configuración de los tres círculos dados. Describimos las dos reducciones principales.

Reducción 1: dos círculos tangentes entre sí. Si $\omega_1$ y $\omega_2$ son tangentes en un punto $T$ (interna o externamente), aplicamos la inversión $\iota$ con centro $T$ y radio $r$ arbitrario. Como $\omega_1$ y $\omega_2$ pasan por $T$, sus imágenes son dos rectas $\ell_1$ y $\ell_2$. Si la tangencia era externa, las tangentes a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $T$ coinciden (hay una sola recta tangente común en $T$), luego $\ell_1 \parallel \ell_2$ (ambas perpendiculares a la recta de centros $O_1 O_2$). El tercer círculo $\omega_3$ (que no pasa por $T$) se transforma en otro círculo $\omega_3' = \iota(\omega_3)$. El problema reducido es: hallar los círculos tangentes a $\ell_1$, $\ell_2$, y $\omega_3'$.

Este problema reducido es elemental: los círculos tangentes a dos rectas paralelas tienen su centro en la mediatriz de las dos rectas y radio igual a la mitad de la distancia entre ellas. La condición adicional de ser tangente a $\omega_3'$ da una ecuación cuadrática en la posición del centro sobre la mediatriz, con a lo sumo dos soluciones. Cada solución se invierte de vuelta para dar soluciones al problema original.

Reducción 2: caso general, sin tangencias mutuas. Se aplica una inversión cuyo centro es un punto de intersección de dos de los tres círculos (si existen). Si $\omega_1$ y $\omega_2$ se cortan en $T$, invertimos con centro $T$ y transformamos $\omega_1$, $\omega_2$ en rectas $\ell_1$, $\ell_2$ que se cortan en un ángulo $\theta$ (el ángulo de intersección de los círculos originales). El tercer círculo $\omega_3$ se transforma en $\omega_3'$. El problema reducido es: hallar los círculos tangentes a $\ell_1$, $\ell_2$, y $\omega_3'$. Los centros de tales círculos están sobre las bisectrices del ángulo formado por $\ell_1$ y $\ell_2$, y la condición de tangencia a $\omega_3'$ da, nuevamente, una ecuación cuadrática.

En ambos casos, la inversión no solo simplifica el problema: también preserva la clasificación de las soluciones (interna/externa) y el número total (las ocho soluciones del problema original corresponden a las soluciones del problema reducido más los casos de signos).

El Círculo de Apolonio como lugar geométrico

Antes de analizar el Problema de Apolonio completo, es fundamental conocer los Círculos de Apolonio elementales: dados dos puntos $A$ y $B$ y un número real $k > 0$ con $k \neq 1$, el conjunto de puntos $P$ tales que $PA / PB = k$ es un círculo, llamado el Círculo de Apolonio de los puntos $A$, $B$ con razón $k$. Cuando $k = 1$, el lugar geométrico es la mediatriz de $AB$ (un círculo de radio infinito).

La demostración es sencilla en coordenadas. Colocando $A = (-1, 0)$, $B = (1, 0)$, la condición $PA^2 / PB^2 = k^2$ para $P = (x, y)$ da $(x+1)^2 + y^2 = k^2[(x-1)^2 + y^2]$, que simplifica a $x^2 + y^2 - 2\dfrac{k^2+1}{k^2-1}x + 1 = 0$ (para $k \neq 1$). Este es un círculo con centro $\left(\dfrac{k^2+1}{k^2-1}, 0\right)$ y radio $\dfrac{2k}{|k^2-1|}$. Nótese que el centro está sobre el eje $AB$ y ambos círculos de Apolonio (para $k$ y $1/k$) son el mismo círculo.

Los Círculos de Apolonio aparecen en muchos contextos olímpicos bajo distintos disfraces. La bisectriz interna y la bisectriz externa del ángulo $\angle APB$ (para $P$ sobre el círculo de Apolonio de $A$, $B$ con razón $k$) cortan al segmento $AB$ en los puntos armónicos $C$, $D$ tales que $(A, B; C, D) = -1$ (cuaterna harmónica). Esta conexión entre los Círculos de Apolonio y la división armónica es esencial para la geometría proyectiva y aparece en problemas sobre bisectrices y ángulos inscritos.

Propiedad fundamental: los Círculos de Apolonio de $A$, $B$ con distintas razones $k$ forman un haz de círculos, y los Círculos de Apolonio son ortogonales a todos los círculos que pasan por $A$ y $B$. Esto significa que la inversión con centro en cualquier punto de un Círculo de Apolonio de $A$, $B$ transforma ese círculo en sí mismo (si el radio de inversión es adecuado), lo que hace de los Círculos de Apolonio los objetos naturales de la teoría de inversión.

La configuración de Descartes: cuatro círculos mutuamente tangentes

Un caso especial importante del Problema de Apolonio es la configuración de Descartes: cuatro círculos mutuamente tangentes. Si conocemos tres círculos $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ mutuamente tangentes, el Problema de Apolonio para estos tres círculos (en la versión "tangente externamente a los tres") tiene exactamente dos soluciones, llamadas las dos circunferencias de Descartes.

La Ecuación de Descartes establece que si cuatro círculos con curvaturas $k_1$, $k_2$, $k_3$, $k_4$ son mutuamente tangentes (cada par es tangente), entonces $(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2)$. Esta ecuación cuadrática en $k_4$ (dados $k_1$, $k_2$, $k_3$) tiene dos soluciones: $k_4 = k_1 + k_2 + k_3 \pm 2\sqrt{k_1 k_2 + k_1 k_3 + k_2 k_3}$. Las dos soluciones corresponden a los dos círculos de Descartes, uno a cada "lado" de la configuración original.

La Gasket de Apollonius (o empaquetamiento de Apolonio) se construye iterando este proceso: empezando con tres círculos mutuamente tangentes, se agrega el primer círculo de Descartes, y luego para cada nuevo cuadruplete de tres círculos mutuamente tangentes se agrega el nuevo círculo de Descartes correspondiente. El resultado es una fractal: una configuración infinita de círculos que llena el triángulo curvilíneo formado por los tres círculos originales. La suma de todas las curvaturas en este empaquetamiento tiene propiedades aritméticas notables: si los tres círculos originales tienen curvaturas enteras, todos los círculos del empaquetamiento tienen curvaturas enteras.

Esta propiedad aritmética de los empaquetamientos de Apolonio es un objeto de investigación matemática activa y ha aparecido en problemas de olimpiadas nacionales como contexto para demostrar que ciertas curvaduras son enteras o satisfacen congruencias modulares.

Problema resuelto: la configuración de dos círculos tangentes y una cuerda

Enunciado. Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ dos círculos tangentes internamente en el punto $T$, con $\omega_1$ contenida en $\omega_2$. Sea $AB$ una cuerda de $\omega_2$ tangente a $\omega_1$ en el punto $M$. Sea $C$ el punto en que la recta $TM$ vuelve a cortar a $\omega_2$. Demuestra que $C$ es el punto medio del arco $AB$ de $\omega_2$ que no contiene a $T$.

Solución. Aplicamos la inversión $\iota$ con centro $T$ y radio $r$ arbitrario. Como $\omega_1$ y $\omega_2$ son tangentes en $T$ (tangencia interna), ambas pasan por $T$ y sus imágenes son dos rectas $\ell_1 \parallel \ell_2$ (paralelas por la tangencia interna en $T$, como se argumentó en la lección 1.1).

Los puntos $A$, $B$ están en $\omega_2$, luego $A' = \iota(A)$ y $B' = \iota(B)$ están en $\ell_2$. El punto $M$ está en $\omega_1$, luego $M' = \iota(M)$ está en $\ell_1$. La cuerda $AB$ (que no pasa por $T$) se transforma en un círculo $\gamma$ que pasa por $T$, $A'$, $B'$. La condición de que $AB$ es tangente a $\omega_1$ en $M$ se transforma en: el círculo $\gamma$ es tangente a $\ell_1$ en $M'$.

El círculo $\gamma$ tiene los puntos $A'$, $B'$ sobre $\ell_2$ y es tangente a $\ell_1$ (paralela a $\ell_2$) en $M'$. Por la simetría axial de la configuración respecto de la mediatriz de $A'B'$ (que es también la mediatriz de cualquier segmento paralelo a $A'B'$), el punto de tangencia $M'$ es el punto de $\ell_1$ equidistante de $A'$ y $B'$, es decir, $M'$ es el punto medio de la proyección de $A'B'$ sobre $\ell_1$.

Ahora, la recta $TM$ (que pasa por el centro de inversión $T$) se transforma en sí misma. El segundo corte de esta recta con $\omega_2$ es $C$, y su imagen $C' = \iota(C)$ está en $\ell_2$ y en la imagen de la recta $TM$ (es decir, en la recta $TM$ misma). Luego $C'$ es la intersección de $\ell_2$ con la recta $TM'$, que por simetría es el punto de $\ell_2$ equidistante de $A'$ y $B'$. Esto significa que $C'$ es el punto medio del segmento $A'B'$, lo que bajo la inversión corresponde a que $C$ es el punto medio del arco $AB$ de $\omega_2$ sin $T$. $\square$

El Teorema de los Tres Círculos y configuraciones de tangencias múltiples

Una generalización importante del Problema de Apolonio es el estudio de configuraciones donde se dan muchos círculos y se buscan relaciones de tangencia o concurrencia. El Teorema de los Tres Círculos de Monge establece que si tres círculos $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ (de radios distintos y en posición general) se consideran dos a dos, los centros de homotecia (puntos que son centros de las homotecías que transforman un círculo en otro) son colineales de a tres: los tres centros de homotecia exterior son colineales, y cada centro de homotecia interior con los dos exteriores complementarios también son colineales. Las tres rectas de Monge así definidas (ejes de similitud) se cortan en un punto llamado el punto de Monge.

La demostración vía inversión es particularmente transparente. Aplicando la inversión con centro en el centro de homotecia $H_{12}$ de $\omega_1$ y $\omega_2$, estos dos círculos se transforman en círculos concéntricos (pues $H_{12}$ es el centro de la homotecia que los mapea uno en otro, y la inversión compuesta con la homotecia transforma $\omega_1$ en $\omega_2$ con el mismo centro). El tercer círculo $\omega_3$ se mapea en $\omega_3'$. Ahora la configuración tiene $\omega_1' = \omega_2'$ (concéntricos) y $\omega_3'$; la colinealidad de los centros de homotecia es inmediata en esta configuración simplificada y se transfiere de vuelta.

En competencias olímpicas, el Teorema de Monge aparece típicamente en problemas que involucran tres círculos donde hay que demostrar que ciertos puntos de tangencia, o las rectas que los unen, son concurrentes o colineales. La estrategia es siempre la misma: identificar la configuración como una instancia del Teorema de Monge (o del Teorema de los Tres Círculos de Coaxiales), aplicar la inversión apropiada para simplificar y reducir la demostración a un caso evidente.

Un resultado conexo es el Teorema de Descartes sobre círculos coaxiales: todos los círculos que pasan por dos puntos fijos $A$ y $B$ forman un haz pencil coaxial, y el haz ortogonal (los Círculos de Apolonio de $A$, $B$) tiene la propiedad de que cualquier inversión con centro en uno de los círculos del primer haz transforma ese haz en un haz de rectas concurrentes. Esta estructura subyace a muchos problemas de inversión en olimpiadas avanzadas.