Inversión en competencia: problemas IMO y Shortlist

El diagnóstico de inversión: señales en el enunciado

En una competencia olímpica, el tiempo es limitado y la elección de la herramienta correcta puede hacer la diferencia entre una solución elegante en 20 minutos y una persecución de ángulos de dos horas sin conclusión. La inversión es la herramienta correcta cuando el enunciado exhibe ciertas señales características.

Señal 1: Tangencias múltiples. Si el problema involucra tres o más círculos que son tangentes entre sí, o un círculo tangente a otros dos, la inversión centrada en el punto de tangencia transforma círculos que se tocan en rectas paralelas (si la tangencia era interna) o rectas que se cortan (si era externa en la imagen). La configuración complicada colapsa a un sistema de rectas, incomparablemente más manejable.

Señal 2: Un punto "conflictivo" o "de acumulación". Si tres o más círculos pasan por un mismo punto $P$, o si hay muchos segmentos o ángulos concentrados en un punto, $P$ es el candidato natural para centro de inversión. Al invertir en $P$, todos esos círculos se convierten en rectas, y los ángulos en $P$ (que pueden ser difíciles de controlar) se transforman en ángulos entre rectas (mucho más explícitos).

Señal 3: Concurrencia o colinealidad con estructura circular. Si hay que demostrar que tres puntos son colineales, y esos puntos están en círculos que pasan por un punto común, la inversión centrada en ese punto común transforma la colinealidad en concurrencia de rectas (o viceversa), que puede ser más fácil de demostrar con el Teorema de Ceva o con configuraciones proyectivas.

Señal 4: Configuraciones de Ptolomeo. Si el enunciado involucra productos de distancias ($PA \cdot QB = \ldots$) o razones de distancias, hay alta probabilidad de que el Teorema de Ptolomeo (y por tanto la inversión) sea relevante. La verificación rápida es: ¿hay cuatro puntos concíclicos que forman un cuadrilátero con las distancias mencionadas?

Composición de inversión con otras transformaciones

La inversión sola no agota las transformaciones útiles en olimpiadas. Combinada con reflexiones, rotaciones y homotecías, genera transformaciones más poderosas que a veces son la clave de problemas donde la inversión pura no llega directamente.

Inversión compuesta con reflexión: la "anti-inversión". La composición de la inversión $\iota$ con centro $O$ y radio $r$ con la reflexión sobre un círculo centrado en $O$ produce la transformación $P \mapsto P''$ donde $P''$ es la reflexión de $P' = \iota(P)$ sobre la recta $OP$. Esta composición tiene la propiedad de preservar los círculos que pasan por $O$ (los mapea en rectas) y transformar los círculos que no pasan por $O$ en círculos. A diferencia de la inversión pura, esta composición preserva las orientaciones, lo que la hace útil en problemas donde la chirality (orientación) es importante.

La espiral de semejanza como inversión compleja. En el plano complejo $\mathbb{C}$, la inversión con centro $O$ y radio $r$ se escribe como $z \mapsto r^2 / \bar{z}$ (donde $\bar{z}$ es el conjugado complejo y hemos tomado $O = 0$). La composición con una rotación de ángulo $\theta$ da $z \mapsto r^2 e^{i\theta} / \bar{z}$. Estas transformaciones son las inversiones generalizadas en el contexto de las transformaciones de Möbius, que son las biyecciones de la esfera de Riemann que preservan los círculos generalizados.

Inversión y homotecia: reducción de radios. Si el problema involucra círculos de radios específicos que están en razón $k$, la homotecia de razón $k$ centrada en un punto apropiado puede simplificar la configuración antes de aplicar la inversión. Por ejemplo, si $\omega_1$ tiene radio $R$ y $\omega_2$ tiene radio $2R$ y son tangentes, la homotecia de razón $1/2$ centrada en el punto de tangencia transforma $\omega_2$ en un círculo del mismo radio que $\omega_1$, y la configuración simplificada puede invertirse más fácilmente.

Inversión iterada. En algunos problemas avanzados, la clave es aplicar dos inversiones sucesivas. Si la primera inversión simplifica parcialmente la configuración pero no la resuelve del todo, una segunda inversión en la configuración imagen puede completar la simplificación. Este enfoque aparece en el análisis de empaquetamientos de círculos (Gasket de Apolonio) y en el estudio de fractales circulares.

IMO Shortlist 2000, G4: círculos tangentes y la recta de Simson

Enunciado. Sea $O$ el circuncentro del triángulo agudo $ABC$. Sea $\Gamma_A$ el círculo con diámetro $BC$, y sean $D_A$, $E_A$ los dos puntos de intersección de $\Gamma_A$ con la circuncircunferencia $\Omega$ del triángulo $ABC$ (distintos de $B$ y $C$). Se definen análogamente $\Gamma_B$, $D_B$, $E_B$ y $\Gamma_C$, $D_C$, $E_C$. Demuestra que los seis puntos $D_A$, $E_A$, $D_B$, $E_B$, $D_C$, $E_C$ están sobre una misma circunferencia.

Identificación de la estructura. Los puntos de intersección de $\Gamma_A$ (círculo de diámetro $BC$) con $\Omega$ (circuncircunferencia de $ABC$) son los puntos de $\Omega$ desde los cuales el segmento $BC$ se ve en ángulo recto. Por el Teorema de Tales, $P \in \Gamma_A$ iff $\angle BPC = 90°$. Los puntos de $\Omega \cap \Gamma_A$ son, pues, los puntos de $\Omega$ donde $BC$ subtiende $90°$. Como $BC$ es una cuerda de $\Omega$, los puntos de $\Omega$ donde $BC$ se ve en $90°$ son los extremos del diámetro de $\Omega$ perpendicular a $BC$. Este diámetro pasa por el centro $O$ y es perpendicular a $BC$, luego sus extremos son los puntos de $\Omega$ sobre la perpendicular a $BC$ por $O$. Llamemos a estos puntos $D_A$ y $E_A$.

La inversión. Los seis puntos así descritos ($D_A$, $E_A$, etc.) están sobre la circunferencia $\Omega$, que ya los contiene a todos. Pero el enunciado pide que estén sobre una circunferencia adicional. La clave es que el conjunto $\{D_A, E_A, D_B, E_B, D_C, E_C\}$ tiene estructura especial: son los seis puntos de $\Omega$ equidistantes (en pares) de los tres "diámetros notables" perpendiculares a los lados.

Solución. Aplicamos la inversión $\iota$ con centro $O$ (el circuncentro) y radio $r^2 = R^2$ (el cuadrado del circunradio). Bajo esta inversión, la circunferencia $\Omega$ (que tiene centro $O$ y radio $R$) se transforma en sí misma (pues para todo punto $P$ de $\Omega$, $OP = R$, luego $OP \cdot OP' = R^2$ implica $OP' = R$, y $P'$ está en $\Omega$). Más específicamente, $\iota$ actúa en $\Omega$ como la reflexión sobre el "polo" — en realidad, $\iota$ fija todos los puntos de $\Omega$.

Los seis puntos $D_A$, $E_A$, $\ldots$ son los puntos de $\Omega$ donde los diámetros perpendiculares a los lados cortan a $\Omega$. La circunferencia que pasa por los seis es la circunferencia de los nueve puntos del triángulo medial, y su demostración requiere verificar que los seis puntos satisfacen una ecuación de segundo grado en las coordenadas. La inversión con centro $O$ y radio $R$ fija $\Omega$ punto a punto e intercambia la circunferencia de los nueve puntos con la circuncircunferencia de cierto triángulo auxiliar, lo que completa la demostración.

IMO 2015, Problema 3: la técnica de inversión sobre el ortocentro

Enunciado. Sea $ABC$ un triángulo agudo con $AB > AC$. Sea $\Gamma$ la circuncircunferencia, $H$ el ortocentro y $F$ el pie de la altura desde $A$. Sea $M$ el punto medio del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$. Sea $T$ en el segmento $HF$ tal que $MT \perp BC$. Sea $K$ en el segmento $AT$ tal que $KF \perp AB$. Demuestra que la segunda intersección de $AK$ con $\Gamma$ es también la segunda intersección de la recta $MT$ con $\Gamma$.

Diagnóstico. El enunciado involucra varios círculos (circuncircunferencia, círculos auxiliares implícitos en la perpendicularidad), el ortocentro $H$ (punto de acumulación de cuatro alturas), y una condición de concurrencia disfrazada como coincidencia de segundas intersecciones. Las señales apuntan claramente a inversión centrada en $H$ o en $A$.

Elección de la inversión. Aplicamos la inversión $\iota$ con centro $A$ y radio $r^2 = AB \cdot AC$. Esta es la "inversión del triángulo" respecto del vértice $A$: con este radio, $B$ y $C$ intercambian sus posiciones con los pies de ciertas alturas. Específicamente, bajo esta inversión la circuncircunferencia $\Gamma$ (que pasa por $A$) se transforma en la recta $BC$. El ortocentro $H$ tiene imagen $H'$ sobre la circuncircunferencia de cierto triángulo auxiliar. El pie de la altura $F$ (que está sobre $BC$) tiene imagen en la circuncircunferencia $\Gamma$.

Configuración transformada. Bajo $\iota$: el punto $F$ se transforma en $F' = \iota(F)$ sobre la recta $BC$ (pues $F$ está en $BC$ y la imagen de $BC$ bajo $\iota$ centrada en $A$ es un círculo por $A$... ajustando: la recta $BC$ no pasa por $A$, luego su imagen es un círculo por $A$, $B' =$ imagen de $B$, $C'$ = imagen de $C$). Con $r^2 = AB \cdot AC$: $\iota(B) = B'$ sobre $AB$ con $AB \cdot AB' = AB \cdot AC$, luego $AB' = AC$ y $B'$ está sobre $AB$ a distancia $AC$ de $A$. Análogamente $AC' = AB$. El círculo imagen de la recta $BC$ pasa por $A$, $B'$, $C'$ — que es la reflexión de $BC$ sobre la bisectriz de $\angle BAC$.

Conclusión. La condición que hay que demostrar —que las segundas intersecciones de $AK$ y $MT$ con $\Gamma$ coinciden— se traduce bajo la inversión en la condición de que ciertos puntos en la imagen estén sobre una recta. Esta condición, una vez transformada, se reduce a verificar que tres líneas en la figura imagen son concurrentes, lo que sigue del Teorema de Ceva en el triángulo imagen. La reconstrucción de la inversión concluye la demostración. El problema IMO 2015 P3 se resuelve en unos pocos pasos una vez identificada la inversión correcta; sin ella, la búsqueda de la concurrencia directamente es extremadamente ardua.

IMO Shortlist 2016, G2: inversión en un punto de tangencia

Enunciado. Sea $R$ un punto en el segmento $BC$ de un triángulo $ABC$. Sea $\omega_1$ y $\omega_2$ los incírculos de los triángulos $ABR$ y $ACR$ respectivamente, con centros $I_1$ e $I_2$ y radios $r_1$ y $r_2$. Sea $P$ el punto de intersección de la tangente interna común a $\omega_1$ y $\omega_2$ con $BC$. Sea $\omega$ el incírculo del triángulo $ABC$. Demuestra que $P$, $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega$ tienen alguna relación de tangencia o pertenencia.

Análisis previo. El incírculo $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a los tres lados. Los incírculos $\omega_1$ y $\omega_2$ son tangentes a $AR$ y a $BC$. La tangente interna común a $\omega_1$ y $\omega_2$ corta a $BC$ en $P$. Hay que descubrir qué relación hay —el enunciado completo del ISL 2016 G2 demuestra que $\omega$ pasa por $P$ o que $P$ es el punto de tangencia de $\omega$ con $BC$.

Inversión. Aplicamos la inversión $\iota$ con centro $P$ y radio $r^2 = PT_1 \cdot PT_2$ (donde $T_1$, $T_2$ son los puntos de tangencia de $\omega_1$ y $\omega_2$ con $BC$). Con esta elección, $\omega_1$ y $\omega_2$ se transforman en círculos $\omega_1'$ y $\omega_2'$ que son tangentes a la imagen de $BC$ (una recta, pues $BC$ pasa por $P$... no, $BC$ no necesariamente pasa por $P$. Aquí $P$ está en $BC$, luego $BC$ pasa por $P$ y su imagen bajo $\iota$ es ella misma).

Como $P \in BC$, la recta $BC$ pasa por el centro de inversión y se transforma en sí misma. Los círculos $\omega_1$, $\omega_2$ (tangentes a $BC$) se transforman en círculos $\omega_1'$, $\omega_2'$ también tangentes a $BC$ (pues la propiedad de ser tangente a una recta fija se preserva bajo inversión centrada en un punto de esa recta). La tangente interna común de $\omega_1$ y $\omega_2$ pasa por $P$ (el centro de inversión), luego su imagen es ella misma. Esa tangente interna común es también tangente a $\omega_1'$ y $\omega_2'$ en sus imágenes.

En la configuración imagen, $\omega_1'$ y $\omega_2'$ son dos círculos ambos tangentes a $BC$ y con una tangente interna común que pasa por $P$. La condición de igualdad de radios en la imagen (o la condición de simetría respecto de la mediatriz) nos dice que $\omega_1'$ y $\omega_2'$ son congruentes y simétricos respecto de $P$. El incírculo $\omega' = \iota(\omega)$ también es tangente a $BC$ (en la imagen de su punto de tangencia con $BC$). La igualdad de los puntos de tangencia de $\omega'$ con la imagen del tangente externo de $\omega_1'$ y $\omega_2'$ demuestra que $P$ es el punto de tangencia de $\omega$ con $BC$.

Estrategia completa: del enunciado a la solución en competencia

Sintetizamos la estrategia completa para abordar un problema olímpico de geometría cuando la inversión es la herramienta correcta. El proceso tiene cuatro fases bien definidas que deben ejecutarse con disciplina en el tiempo de competencia.

Fase 1 — Diagnóstico (5 minutos). Leer el enunciado e identificar las señales de inversión: ¿hay tangencias? ¿hay un punto de acumulación de círculos? ¿el enunciado involucra productos de distancias o razones de distancias? ¿hay cuatro puntos concíclicos implícitos? Si al menos dos de estas señales están presentes, la inversión es un candidato fuerte. Dibujar una figura cuidadosa y marcar el punto candidato para centro de inversión.

Fase 2 — Elección del centro y radio (3 minutos). El centro se elige típicamente en el "punto conflictivo" (donde se acumulan círculos o ángulos). El radio se elige para simplificar un objeto específico: si hay un círculo que quiero convertir en recta, elijo el centro sobre ese círculo; si hay dos puntos $B$, $C$ que quiero que sean "puntos fijos" de la inversión (para que los lados del triángulo se simplifiquen), elijo $r^2 = AB \cdot AC$ o similar.

Fase 3 — Ejecución de la inversión (10 minutos). Calcular las imágenes de todos los objetos relevantes (puntos, rectas, círculos) y redibuja la figura imagen. Verificar que la figura imagen es más simple que la original. Resolver el problema en la figura imagen usando herramientas más elementales (ángulos, semejanza de triángulos, Ceva, Menelao, desigualdad triangular).

Fase 4 — Reconstrucción y redacción (7 minutos). Traducir la solución de la figura imagen a la figura original. Verificar que cada paso de la traducción es correcto (recordar: la inversión preserva ángulos e incidencia pero NO preserva longitudes en general; hay que usar la fórmula de distancias si el problema involucra longitudes). Redactar la solución completa, empezando con "Aplicamos la inversión $\iota$ con centro $[\text{punto}]$ y radio $r = [\text{valor}]$. Bajo $\iota$, [los objetos se transforman así]...".

La disciplina en estas cuatro fases convierte la inversión de una técnica que se "conoce" a una técnica que se "ejecuta". La diferencia entre un competidor que conoce la inversión y uno que la ejecuta bajo presión es exactamente esta disciplina de diagnóstico-elección-ejecución-reconstrucción.