Sistema de coordenadas baricéntricas: definición y propiedades

Por qué necesitamos otro sistema de coordenadas

Los problemas de geometría olímpica se clasifican, informalmente, en dos grandes familias: los que tienen una "simetría circular" natural (tangencias, potencias, inversión) y los que tienen una "simetría triangular" natural (incentro, circuncentro, puntos notables, cevianas concurrentes). Para la primera familia, la inversión y los números complejos son las herramientas reinas. Para la segunda, el sistema más poderoso disponible son las coordenadas baricéntricas.

El nombre proviene de Möbius, quien en 1827 observó que cualquier punto del plano puede interpretarse como el "centro de masa" de tres masas ubicadas en los vértices de un triángulo de referencia. Esta interpretación física hace que la mayoría de los puntos notables del triángulo tengan expresiones baricéntricas extraordinariamente simples: el incentro es $(a:b:c)$, el circuncentro es $(\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C)$, el ortocentro es $(\tan A:\tan B:\tan C)$. Comparar con las expresiones cartesianas correspondientes —que típicamente involucran decenas de términos algebraicos— convence de inmediato del valor del sistema.

En los selectivos iberoamericanos y en el IMO, los baricéntricos aparecen como herramienta de verificación (comprobar que ciertos puntos son colineales o que ciertas rectas son concurrentes) y como motor de solución (calcular directamente la posición de un punto definido por condiciones geométricas complejas). Esta lección construye el sistema desde cero.

Definición: coordenadas baricéntricas absolutas y homogéneas

Sea $ABC$ un triángulo fijo en el plano, llamado el triángulo de referencia. Denotamos $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ (lados opuestos a los vértices respectivos) y $S = [ABC]$ el área del triángulo (donde $[XYZ]$ denota el área con signo del triángulo $XYZ$).

Para un punto $P$ del plano, definimos sus coordenadas baricéntricas absolutas como el triple $(x, y, z)$ tal que $P = \dfrac{x \cdot A + y \cdot B + z \cdot C}{x + y + z}$, donde se escribe $P$ como combinación convexa de $A$, $B$, $C$ si $x, y, z > 0$ (caso en que $P$ está dentro del triángulo). La condición de normalización es $x + y + z = 1$ cuando se usan coordenadas absolutas.

En la práctica olímpica se usan casi siempre las coordenadas baricéntricas homogéneas $(x:y:z)$, donde el símbolo "$:$" indica que solo importan las razones. Dos triples $(x:y:z)$ y $(\lambda x:\lambda y:\lambda z)$ representan el mismo punto para cualquier $\lambda \neq 0$. La conversión a coordenadas absolutas es $(\tilde x, \tilde y, \tilde z) = \bigl(\tfrac{x}{x+y+z},\, \tfrac{y}{x+y+z},\, \tfrac{z}{x+y+z}\bigr)$.

Interpretación por áreas: si $P = (x:y:z)$ (con $x+y+z = 1$ en la versión normalizada), entonces $x = [PBC]/[ABC]$, $y = [PCA]/[ABC]$, $z = [PAB]/[ABC]$. Esto hace que los baricéntricos sean "coordenadas de área" — una propiedad que facilita enormemente la verificación de concurrencias y colinealidades.

Los vértices y los puntos notables elementales

Los vértices del triángulo de referencia tienen las coordenadas más simples posibles: $A = (1:0:0)$, $B = (0:1:0)$, $C = (0:0:1)$. Esto es inmediato de la definición: $A = (1 \cdot A + 0 \cdot B + 0 \cdot C)/1 = A$.

El baricentro $G$ es el promedio de los tres vértices: $G = (A + B + C)/3$. En baricéntricas, esto es $(1:1:1)$ — las tres masas son iguales, como corresponde al centro de masa de tres masas unitarias en los vértices.

El ortocentro $H$ tiene coordenadas $(\tan A:\tan B:\tan C)$. La razón se entiende por la fórmula de área: $[HBC] = \tfrac12 \cdot a \cdot h_A$, donde $h_A$ es la distancia de $H$ a $BC$. Usando que $H$ está en la altura desde $A$ y calculando $h_A$ en función de los ángulos, se obtiene $[HBC]/[ABC] = \tan A /(\tan A + \tan B + \tan C)$, lo que da la coordenada $x$ del ortocentro. Las otras coordenadas son análogas.

El incentro $I$ tiene coordenadas $(a:b:c)$ — las longitudes de los lados opuestos. Esto se deriva del hecho de que el incentro divide el triángulo en tres subtriángulos de áreas proporcionales a los lados: $[IBC] = \tfrac12 a r$, $[ICA] = \tfrac12 b r$, $[IAB] = \tfrac12 c r$ (donde $r$ es el inradio), y $[IBC]:[ICA]:[IAB] = a:b:c$.

Conversión entre baricéntricas y cartesianas

Si el triángulo $ABC$ tiene vértices en el plano cartesiano con coordenadas $A = (A_x, A_y)$, $B = (B_x, B_y)$, $C = (C_x, C_y)$, la conversión de baricéntricas a cartesianas es directa: si $P = (x:y:z)$ con $x+y+z = 1$, entonces $(P_x, P_y) = x(A_x, A_y) + y(B_x, B_y) + z(C_x, C_y)$.

La conversión inversa — de cartesianas a baricéntricas — requiere resolver el sistema lineal. Dado $(P_x, P_y)$, se calculan las áreas con signo: $x = [PBC]/[ABC]$, $y = [PCA]/[ABC]$, $z = [PAB]/[ABC]$, usando la fórmula del determinante para el área: $[PBC] = \tfrac12 \det\begin{pmatrix} B_x - P_x & C_x - P_x \\ B_y - P_y & C_y - P_y \end{pmatrix}$.

En problemas olímpicos, raramente se necesita la conversión explícita. La potencia del método reside en operar directamente en baricéntricas. La conversión se usa principalmente para establecer el marco inicial (si el problema da coordenadas cartesianas o métricas) o para verificar una respuesta final.

Regla práctica: en un problema donde el enunciado menciona "triángulo $ABC$", "puntos notables" (circuncentro, incentro, ortocentro, etc.) o "cevianas concurrentes", los baricéntricos son presumiblemente más eficientes que las cartesianas. Si el problema menciona "círculos que se cortan" o "tangencias", la inversión puede ser preferible. Si hay una simetría de traslación o rotación, los números complejos son naturales.

La fórmula de distancias en coordenadas baricéntricas

Sea $P = (x_1:y_1:z_1)$ y $Q = (x_2:y_2:z_2)$ dos puntos, con coordenadas normalizadas $\tilde x_i + \tilde y_i + \tilde z_i = 1$. El vector desplazamiento en baricéntricas es $\vec{PQ} = (\tilde x_2 - \tilde x_1, \tilde y_2 - \tilde y_1, \tilde z_2 - \tilde z_1)$, que satisface $\Delta x + \Delta y + \Delta z = 0$ (ya que ambos puntos tienen suma de coordenadas $= 1$).

La fórmula de distancias en baricéntricas (para desplazamiento $\vec{PQ} = (\Delta x, \Delta y, \Delta z)$ con $\Delta x + \Delta y + \Delta z = 0$) es:

$PQ^2 = -a^2 \Delta y\, \Delta z - b^2 \Delta z\, \Delta x - c^2 \Delta x\, \Delta y$,

donde $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$. Esta fórmula, aunque menos intuitiva que la fórmula euclidiana, es extremadamente eficiente cuando se opera enteramente en baricéntricas. La restricción $\Delta x + \Delta y + \Delta z = 0$ es esencial: garantiza que la fórmula sea bien definida (sin ella, hay un término libre que desaparece solo bajo esa condición).

Derivación breve. Expandiendo $PQ^2 = |\vec{PQ}|^2$ en términos de los vectores de posición $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ y usando $|\vec{B} - \vec{A}|^2 = c^2$, $|\vec{C} - \vec{A}|^2 = b^2$, $|\vec{C} - \vec{B}|^2 = a^2$, se obtiene la identidad cuadrática en $\Delta x, \Delta y, \Delta z$ que, bajo la restricción $\Delta x + \Delta y + \Delta z = 0$, simplifica exactamente a la fórmula de arriba.

Cuándo elegir baricéntricas: criterios de selección

Criterio 1 — Puntos notables como datos. Si el enunciado involucra el incentro, circuncentro, ortocentro, puntos de contacto de la circunferencia inscrita, o similares, estos puntos tienen coordenadas baricéntricas de una línea. En cartesianas, las mismas expresiones pueden ser párrafos.

Criterio 2 — Concurrencia o colinealidad como objetivo. La condición de concurrencia de tres cevianas $AD$, $BE$, $CF$ se reduce al Teorema de Ceva: las cevianas concurren si y solo si $(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB) = 1$. En baricéntricas, si $D = (0:y_D:z_D)$, $E = (x_E:0:z_E)$, $F = (x_F:y_F:0)$, la condición de Ceva es $x_E y_D y_F = x_F y_E z_D z_E$... o más directamente, la condición $\det[A,D;B,E;C,F] = 0$ para colinealidad es un $3\times 3$ determinante trivial en baricéntricas.

Criterio 3 — Identidades métricas. Si el problema pide demostrar una igualdad de distancias o razones (e.g., $PA/PB = k$, o $AP^2 + BP^2 = CP^2 + k$), la fórmula de distancias baricéntricas convierte el problema en álgebra de segundo grado en los parámetros del triángulo $(a,b,c)$.

Criterio 4 — Presencia de la circunferencia inscrita o exinscritas. Los puntos de tangencia de la incircunferencia tienen coordenadas baricéntricas elementales: el punto de tangencia de la incircunferencia con $BC$ es $(0: s-c: s-b)$ (donde $s = (a+b+c)/2$ es el semiperímetro). Cualquier problema que involucre el triángulo de contacto o los excentros se simplifica radicalmente en baricéntricas.

Cuándo NO usar baricéntricas. Si el problema tiene una simetría de rotación o reflexión que no corresponde al triángulo de referencia, o si involucra principalmente círculos que se cortan sin relación directa con el triángulo, otros sistemas pueden ser más naturales. La inversión, los complejos o incluso la geometría sintética pura pueden dar soluciones más cortas en esos casos.

Ejemplo fundamental: baricéntricas del circuncentro

Demostramos que el circuncentro $O$ tiene coordenadas baricéntricas $(\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C)$, o equivalentemente $(a^2(b^2+c^2-a^2):b^2(c^2+a^2-b^2):c^2(a^2+b^2-c^2))$.

Por la interpretación de áreas: las coordenadas de $O$ son $(x:y:z)$ con $x = [OBC]/[ABC]$, $y = [OCA]/[ABC]$, $z = [OAB]/[ABC]$. Ahora, $[OBC] = \tfrac12 \cdot R \cdot R \cdot \sin(\angle BOC) = \tfrac12 R^2 \sin 2A$ (pues el ángulo central $\angle BOC = 2A$). Análogamente $[OCA] = \tfrac12 R^2 \sin 2B$ y $[OAB] = \tfrac12 R^2 \sin 2C$.

Por tanto $O = (\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C)$. Para convertir a expresión en $a, b, c$: $\sin 2A = 2\sin A \cos A = 2 \cdot \tfrac{a}{2R} \cdot \tfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ (usando la Ley de Senos y la Ley de Cosenos). Simplificando, $\sin 2A = \tfrac{a(b^2+c^2-a^2)}{2R \cdot bc}$, y al tomar la razón $(\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C)$ el factor común $1/(2R)$ cancela, dando $O = (a^2(b^2+c^2-a^2):b^2(c^2+a^2-b^2):c^2(a^2+b^2-c^2))$.

Esta segunda forma es puramente algebraica en $a, b, c$ — muy útil cuando se quiere verificar colinealidad de $O$ con otros puntos expresados en términos de los lados.