Razón cruzada y la recta proyectiva

Motivación: la razón simple no es suficiente

En la geometría euclídea, la razón simple $(A,B;C) = AC/CB$ (con signo) mide la posición de un punto $C$ sobre la recta $AB$. Esta razón se conserva bajo traslaciones y rotaciones, pero no bajo proyecciones perspectivas: si proyectamos la recta $\ell$ desde un punto $O$ sobre otra recta $\ell'$, la imagen de $C$ cambia la razón simple en general.

La geometría proyectiva nace de la pregunta: ¿qué cantidad de cuatro puntos se conserva bajo toda proyección perspectiva? La respuesta es la razón cruzada (también llamada birazón o razón doble), que es la herramienta más fundamental de la geometría proyectiva olímpica.

Históricamente, la razón cruzada fue conocida ya por Pappo de Alejandría (siglo IV d.C.), redescubierta por Desargues y sistematizada por von Staudt en el siglo XIX. En competencias modernas aparece como herramienta clave en problemas del IMO Shortlist marcados con la letra G.

Definición: razón cruzada de cuatro puntos colineales

Sean $A$, $B$, $C$, $D$ cuatro puntos distintos sobre una recta $\ell$ (o en la recta proyectiva $\mathbb{P}^1$, que incluye el punto del infinito). La razón cruzada se define como:

$(A, B; C, D) = \dfrac{AC}{CB} \cdot \dfrac{DB}{AD} = \dfrac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{\overline{AD} \cdot \overline{BC}}$,

donde $\overline{XY}$ denota la distancia con signo desde $X$ hasta $Y$ (positiva si $Y$ está a la derecha de $X$ en el eje orientado). Escoger un origen y una dirección en la recta permite dar valores reales a esta razón; el valor es independiente de cuál origen y dirección se escoja (salvo inversión de la recta, que da el mismo módulo).

En coordenadas: si $A$, $B$, $C$, $D$ tienen coordenadas $a$, $b$, $c$, $d$ sobre la recta, entonces $(A,B;C,D) = \dfrac{(c-a)(d-b)}{(d-a)(c-b)}$.

Convención olímpica: varios textos definen la razón cruzada como $(A,B;C,D) = \dfrac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}$ — exactamente el mismo valor. La convención es que los cuatro puntos se agrupan en dos pares: el par "separante" $(A,B)$ y el par "separado" $(C,D)$. Esta interpretación facilita la condición armónica.

Razón cruzada de cuatro rectas concurrentes

Si $a$, $b$, $c$, $d$ son cuatro rectas que pasan por un punto $O$ (un haz de rectas), la razón cruzada del haz se define como la razón cruzada de los cuatro puntos que estas rectas determinan sobre cualquier transversal $\ell$ que no pase por $O$:

$(a, b; c, d)_{\text{haz}} = (A, B; C, D)$, donde $A = a \cap \ell$, $B = b \cap \ell$, $C = c \cap \ell$, $D = d \cap \ell$.

La clave es demostrar que este valor no depende de la transversal $\ell$ elegida. Esta es precisamente la invariancia bajo proyecciones perspectivas.

Demostración de la independencia. Sea $\ell'$ otra transversal que corta al haz en $A'$, $B'$, $C'$, $D'$. La proyección perspectiva desde $O$ mapea $A \mapsto A'$, $B \mapsto B'$, $C \mapsto C'$, $D \mapsto D'$. Usando la fórmula del seno para la razón cruzada del haz:

$(a, b; c, d)_{\text{haz}} = \dfrac{\sin(\angle(a,c)) \cdot \sin(\angle(b,d))}{\sin(\angle(a,d)) \cdot \sin(\angle(b,c))}$,

que solo depende de los ángulos entre las rectas del haz, no de la transversal elegida. Este resultado se prueba expandiendo las razones de distancias en $\ell$ usando la Ley de Senos en los triángulos formados con vértice en $O$. $\square$

Propiedades algebraicas de la razón cruzada

Sea $\lambda = (A,B;C,D)$. Las permutaciones de los cuatro puntos dan a lo sumo seis valores distintos relacionados entre sí:

$(A,B;C,D) = (B,A;D,C) = (C,D;A,B) = (D,C;B,A) = \lambda$.

$(A,B;D,C) = (B,A;C,D) = \tfrac{1}{\lambda}$.

$(A,C;B,D) = 1 - \lambda$.

$(A,C;D,B) = \tfrac{1}{1-\lambda}$.

$(A,D;C,B) = \tfrac{\lambda}{\lambda - 1}$.

$(A,D;B,C) = \tfrac{\lambda - 1}{\lambda}$.

Estas seis transformaciones $\{\lambda,\, 1/\lambda,\, 1-\lambda,\, 1/(1-\lambda),\, \lambda/(\lambda-1),\, (\lambda-1)/\lambda\}$ forman el grupo de simetría del birazón bajo permutaciones, isomorfo al grupo simétrico $S_3$ (de orden 6).

Los valores especiales más importantes son: $\lambda = -1$ (cuarteto armónico), $\lambda = 0$ (dos puntos coinciden), $\lambda = \infty$ (otro par coincide), $\lambda = 1$ (otro par coincide), $\lambda = e^{\pm i\pi/3}$ (razón cruzada equianármónica, relacionada con simetría de orden 3).

El haz armónico: el caso especial $(A,B;C,D) = -1$

Cuatro puntos $A$, $B$, $C$, $D$ colineales (o cuatro rectas concurrentes $a$, $b$, $c$, $d$) forman un haz armónico si $(A,B;C,D) = -1$. En este caso, $C$ y $D$ se llaman conjugados armónicos con respecto al par $A$, $B$.

Caracterización geométrica: $(A,B;C,D) = -1$ si y solo si $C$ y $D$ dividen al segmento $AB$ interna y externamente en la misma razón. Es decir, si $AC/CB = -AD/DB$ (razones con signo).

Construcción geométrica del cuarto armónico. Dados $A$, $B$, $C$, el conjugado armónico $D$ de $C$ con respecto a $A$ y $B$ se construye así: (1) Elegir cualquier punto $P$ fuera de la recta $ABC$. (2) Trazar las rectas $PA$ y $PB$. (3) Trazar la recta $PC$; sea $Q = PC \cap AB'$ para alguna línea auxiliar, y $R$ el segundo punto de intersección de $PQ$ con $AB$ mediante el cuadrilátero $APBQ$. En términos de cuadriángulo completo (véase Lección 3.3): el cuarto harmónico de $C$ respecto de $A$ y $B$ es el punto $D$ tal que $\{A, B, C, D\}$ es la cuadrupla diagonal de un cuadriángulo completo cuyos vértices diagonales incluyen a $C$.

Propiedad clave en circunferencias. Si $A$, $B$ son los puntos de intersección de una circunferencia con una recta $\ell$, y $C$ es un punto de $\ell$, entonces el conjugado harmónico $D$ de $C$ con respecto a $A$, $B$ es el polo de la recta $\ell$ respecto de la circunferencia... más precisamente: si $\ell$ es una recta secante a la circunferencia con puntos de corte $A$ y $B$, y $C$ es el punto de $\ell$ tal que $OC \perp \ell$ (donde $O$ es el centro), entonces el conjugado harmónico de $C$ es el pie de potencia. Esta conexión con polo y polar se desarrollará en la Lección 3.2.

La razón cruzada en la circunferencia

Sean $A$, $B$, $C$, $D$ cuatro puntos sobre una circunferencia $\omega$ y sea $P$ cualquier otro punto de $\omega$. La razón cruzada del haz $PA$, $PB$, $PC$, $PD$ es independiente de $P$:

$(PA, PB; PC, PD)_{\text{haz}} = \dfrac{\sin(\angle APC)\cdot\sin(\angle BPD)}{\sin(\angle APD)\cdot\sin(\angle BPC)}$.

Por el Teorema del Ángulo Inscripto, $\angle APC = \angle ABC$ (ángulos inscritos que subtienden el mismo arco $AC$), y análogamente para los otros ángulos. Por tanto, la razón cruzada del haz **solo depende de la posición de $A$, $B$, $C$, $D$ en la circunferencia**, no del punto $P$ desde el que se proyecta.

Esta es la razón cruzada en la circunferencia, una herramienta potentísima: dos cuádruples de puntos en una circunferencia tienen la misma razón cruzada si y solo si existe una transformación de Möbius (es decir, una proyectividad) que lleva un cuádruple al otro. En particular, si los cuatro puntos son los vértices de un cuadrilátero inscrito, la razón cruzada de sus lados caracteriza la clase proyectiva del cuadrilátero.

Aplicación directa. Si $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico, la condición $(A,B;C,D)_{\omega} = -1$ (harmónico en la circunferencia) equivale a que las diagonales $AC$ y $BD$ se corten en el polo de la recta $CD$ con respecto a $\omega$. Esta conexión será el puente hacia la lección sobre polo y polar.