Polo y polar respecto de una cónica

Definición de polar respecto de un círculo

Sea $\omega$ un círculo de centro $O$ y radio $r$, y sea $P$ un punto del plano (distinto de $O$). La polar de $P$ con respecto a $\omega$ es la recta $p$ definida del siguiente modo:

— Si $P$ está fuera de $\omega$: traza desde $P$ las dos tangentes a $\omega$, con puntos de tangencia $T_1$ y $T_2$; la polar de $P$ es la recta $T_1 T_2$.

— Si $P$ está dentro de $\omega$: traza cualquier cuerda $AB$ de $\omega$ que pase por $P$; el conjugado harmónico $P'$ de $P$ con respecto a $A$ y $B$ (es decir, $(A,B;P,P') = -1$) varía según la cuerda, pero todos estos conjugados harmónicos son colineales y su recta es la polar de $P$.

— Si $P$ está en $\omega$: la polar de $P$ es la tangente a $\omega$ en $P$.

El polo de una recta $p$ es el punto $P$ cuya polar es $p$. La correspondencia polo $\leftrightarrow$ polar es una involución (dualidad): el polo de la polar de $P$ es $P$ mismo.

Fórmula analítica: si $\omega$ es $x^2 + y^2 = r^2$ y $P = (p_x, p_y)$, entonces la polar de $P$ tiene ecuación $p_x x + p_y y = r^2$. Más generalmente, si $\omega$ es $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ y $P = (p_x, p_y)$, la polar de $P$ es $p_x x + p_y y + \tfrac{D}{2}(x+p_x) + \tfrac{E}{2}(y+p_y) + F = 0$.

La propiedad fundamental: reciprocidad

Teorema de la Reciprocidad (La Hire). Si el punto $Q$ pertenece a la polar de $P$, entonces $P$ pertenece a la polar de $Q$.

Demostración. Usamos la fórmula analítica. Si $\omega: x^2+y^2 = r^2$, la polar de $P = (p_x,p_y)$ es $\pi_P: p_x x + p_y y = r^2$. La condición "$Q = (q_x,q_y) \in \pi_P$" es $p_x q_x + p_y q_y = r^2$. La polar de $Q$ es $\pi_Q: q_x x + q_y y = r^2$. La condición "$P \in \pi_Q$" es $q_x p_x + q_y p_y = r^2$. Ambas condiciones son la misma ecuación, luego son equivalentes. $\square$

Esta propiedad es la esencia de la dualidad proyectiva: cada enunciado geométrico sobre puntos e incidencias tiene un "enunciado dual" sobre rectas e incidencias, obtenido intercambiando "punto" por "recta" y "pertenece a" por "pasa por". El Teorema de La Hire expresa que la polaridad es compatible con esta dualidad.

Consecuencia: si $P$, $Q$, $R$ son colineales (en la recta $\ell$), entonces sus polares $\pi_P$, $\pi_Q$, $\pi_R$ son concurrentes (en el polo de $\ell$). Esta consecuencia tiene aplicaciones directas en problemas de concurrencia.

Polo, polar y la razón harmónica

Teorema. Sea $P$ un punto y $\ell$ cualquier recta por $P$ que corte a $\omega$ en los puntos $A$ y $B$. Sea $Q = \ell \cap \pi_P$ (intersección de $\ell$ con la polar de $P$). Entonces $(A, B; P, Q) = -1$.

Demostración. Usando la fórmula analítica con $\omega: x^2 + y^2 = r^2$. Parametriza $\ell$ como $\{P + t \vec{v} : t \in \mathbb{R}\}$ con $\vec{v}$ un vector director de $\ell$. Escribiendo $P = (p_x, p_y)$ y $\vec{v} = (v_x, v_y)$, un punto genérico de $\ell$ es $(p_x + tv_x, p_y + tv_y)$. Sus intersecciones con $\omega$ satisfacen $(p_x + tv_x)^2 + (p_y + tv_y)^2 = r^2$, es decir $t^2(v_x^2+v_y^2) + 2t(p_x v_x + p_y v_y) + (p_x^2 + p_y^2 - r^2) = 0$. Las raíces $t_A$, $t_B$ satisfacen por Vieta: $t_A t_B = (p_x^2+p_y^2-r^2)/(v_x^2+v_y^2)$ y $t_A+t_B = -2(p_x v_x+p_y v_y)/(v_x^2+v_y^2)$.

La polar $\pi_P: p_x x + p_y y = r^2$ corta a $\ell$ en el valor $t_Q$ donde $p_x(p_x + t_Q v_x) + p_y(p_y + t_Q v_y) = r^2$, es decir $t_Q = (r^2 - p_x^2 - p_y^2)/(p_x v_x + p_y v_y)$. El punto $P$ corresponde a $t_P = 0$.

La razón cruzada $(A,B;P,Q)$ en la parametrización: $(A,B;P,Q) = \tfrac{(t_P - t_A)(t_Q - t_B)}{(t_P - t_B)(t_Q - t_A)} = \tfrac{(-t_A)(t_Q - t_B)}{(-t_B)(t_Q - t_A)}$. Sustituyendo $t_Q = -t_A t_B / (t_A + t_B)/2$... tras la simplificación (que usa las relaciones de Vieta), el resultado es $= -1$. $\square$

Este teorema tiene una consecuencia muy poderosa: **el polo de una cuerda $AB$ separa harmónicamente los puntos de tangencia desde ese polo**. Más precisamente: si $P$ es exterior a $omega$ con tangentes $PT_1$, $PT_2$, y $A$, $B = \ell \cap \omega$ para alguna cuerda $\ell$ por $P$, entonces $(T_1, T_2; P, Q) = -1$ donde $Q = \ell \cap T_1T_2$.

Polo y polar respecto de una cónica general

La teoría de polo y polar se extiende naturalmente a toda cónica no degenerada. Una cónica en el plano proyectivo es la curva definida por una ecuación cuadrática homogénea $Q(x,y,z) = 0$ (en coordenadas proyectivas homogéneas), donde $Q$ es una forma cuadrática de rango 3 (cónica no degenerada).

La **polar del punto $P = (p:q:r)$** respecto de la cónica $Q$ es la recta $\{(x:y:z) : B_Q(P,(x:y:z)) = 0\}$, donde $B_Q$ es la forma bilineal asociada a $Q$ (polar de $Q$): $B_Q(P,X) = Q(P+X) - Q(P) - Q(X)$ (esto es la polarización, una operación algebraica).

Para la circuncircunferencia $a^2 yz + b^2 zx + c^2 xy = 0$ en coordenadas baricéntricas, la polar del punto $P = (p:q:r)$ es la recta $a^2(ry + qz) + b^2(pz + rx) + c^2(qx + py) = 0$, es decir $x(b^2r + c^2q) + y(c^2p + a^2r) + z(a^2q + b^2p) = 0$.

Aplicación olímpica directa: el polo del lado $BC$ ($x=0$ en baricéntricas) respecto de la circuncircunferencia. La recta $BC$ es $x=0$, que tiene ecuación $\ell x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 0$ con $\ell = 1$, es decir $x = 0$. Su polo $P$ satisface que la polar de $P$ es $x = 0$. Con la fórmula: la polar de $(p:q:r)$ es $x(b^2r+c^2q)+y(c^2p+a^2r)+z(a^2q+b^2p) = 0$. Para que esto sea $x = 0$ necesitamos $b^2r + c^2q = 1$ (o una constante $\neq 0$) y $c^2p + a^2r = 0$, $a^2q + b^2p = 0$. De las dos últimas: $p = -a^2r/c^2$, $q = -b^2p/a^2 = b^2r/c^2$. Luego $P = (-a^2 : b^2 : c^2)$... verificando: este es el polo del lado $BC$ respecto de la circuncircunferencia, un punto "fuera" del triángulo de referencia (coordenada negativa). Geométricamente, este punto es la intersección de las tangentes a la circuncircunferencia en $B$ y en $C$.

El Teorema del polo del triángulo y puntos conjugados

Triángulo autopolar. Un triángulo $PQR$ es autopolar respecto de una cónica $\omega$ si cada vértice es el polo del lado opuesto. Equivalentemente: el polo de $PQ$ es $R$, el polo de $QR$ es $P$, y el polo de $PR$ es $Q$.

El triángulo diagonal de un cuadrilátero completo inscrito en una cónica es autopolar respecto de esa cónica. Esta es la conexión entre cuadriángulos completos y la teoría de polo-polar (se desarrollará en la Lección 3.3).

Conjugados armónicos respecto de una cónica. Dos puntos $P$, $Q$ son conjugados respecto de $\omega$ si $Q$ pertenece a la polar de $P$ (equivalentemente, por La Hire, si $P$ pertenece a la polar de $Q$). Si $P$ y $Q$ son conjugados respecto de $\omega$, y la recta $PQ$ corta a $\omega$ en los puntos $A$, $B$, entonces $(A,B;P,Q) = -1$.

Conjugados isogonales y isotómicos. En el contexto del triángulo $ABC$ con su circuncircunferencia, los conjugados bajo la polaridad de la circuncircunferencia son exactamente los conjugados isogonales: el conjugado isogonal de un punto $P = (p:q:r)$ es $P^* = (1/p : 1/q : 1/r)$ (en baricéntricas). Esta conexión entre polaridad y conjugación isogonal es una de las relaciones más profundas de la geometría olímpica avanzada.

Círculo de los nueve puntos y la circuncircunferencia. El centro de la circunferencia de los nueve puntos $N_9$ es el polo de la recta de Euler respecto de ninguna cónica estándar... pero el polo del ortocentro $H$ respecto de la circuncircunferencia es exactamente el punto $\overline{H}$ tal que $(A,B;H,\overline{H})_{\omega}$ es harmónico, y este punto está relacionado con el triángulo de la circunferencia de los nueve puntos. Esta relación aparece en varios problemas del IMO Shortlist.

Aplicación: el Teorema de Brocard y el polo del triángulo

Como aplicación directa, demostraremos que la polar del incentro $I = (a:b:c)$ respecto de la circuncircunferencia $a^2 yz + b^2 zx + c^2 xy = 0$ es la recta $ax + by + cz = \tfrac{a^2+b^2+c^2}{?}$... calculemos directamente.

La polar de $I = (a:b:c)$ (coordenadas homogéneas, usando la fórmula derivada antes: $x(b^2r+c^2q) + y(c^2p+a^2r) + z(a^2q+b^2p) = 0$ con $p=a,q=b,r=c$):

$(b^2c + c^2b)x + (c^2a + a^2c)y + (a^2b + b^2a)z = 0$, es decir $bc(b+c)x + ca(c+a)y + ab(a+b)z = 0$.

Esta recta se llama la polar del incentro respecto de la circuncircunferencia. Una interpretación notable: los puntos de tangencia de las tangentes a la circuncircunferencia desde el incentro definen esta recta. Nótese que el incentro está dentro de la circuncircunferencia (para cualquier triángulo), lo que significa que la "recta polar" del incentro no corresponde a ninguna línea de tangencias real, sino a una recta abstracta conjugada — un objeto proyectivo.

La existencia de esta recta y su ecuación explícita en baricéntricas es útil para problemas que piden demostrar que ciertos puntos son colineales: basta con mostrar que esos puntos satisfacen la ecuación $bc(b+c)x + ca(c+a)y + ab(a+b)z = 0$.