La espiral de semejanza: definición y construcción

Motivación: semejanzas directas del plano

Una semejanza directa del plano es una transformación que preserva ángulos (orientados) y multiplica todas las distancias por un factor constante $k > 0$. Formalmente, es una aplicación $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ de la forma $f(z) = az + b$ con $a, b \in \mathbb{C}$, $a \neq 0$, donde $k = |a|$ es la razón de semejanza y $\arg(a)$ es el ángulo de rotación.

Las semejanzas directas forman un grupo bajo composición. El caso $a = 1$ da las traslaciones; el caso $|a| = 1$ da las rotaciones; el caso $\arg(a) = 0$ da las homotecias. La composición de una rotación de ángulo $\theta$ y una homotecia de razón $k$, ambas con el mismo centro $O$, recibe el nombre de espiral de semejanza (también: homotecia rotación o similitud espiral).

La espiral de semejanza es la semejanza directa no trivial más general: toda semejanza directa que no sea una traslación posee exactamente un punto fijo, y puede descomponerse como espiral de semejanza centrada en ese punto fijo. Este hecho convierte a la espiral de semejanza en la herramienta central para estudiar familias de triángulos semejantes, puntos de Miquel y transformaciones de figuras.

En problemas olímpicos la espiral de semejanza aparece de forma recurrente: "¿qué lugar geométrico describen los puntos obtenidos al aplicar la misma espiral a los puntos de un segmento?" La respuesta — siempre un arco de circunferencia — es el punto de partida de muchos argumentos de ángulos inscritos.

Definición formal: espiral de semejanza

Sea $O$ un punto del plano (el centro), $\theta \in \mathbb{R}$ un ángulo (el ángulo de rotación) y $k > 0$ un escalar (la razón de semejanza). La espiral de semejanza $\mathcal{S}(O, k, \theta)$ es la transformación que a cada punto $P$ le asigna el punto $P'$ tal que:

(1) $OP' = k \cdot OP$ (homotecia de razón $k$ centrada en $O$),

(2) el ángulo orientado $\angle(\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OP'}) = \theta$ (rotación de ángulo $\theta$ centrada en $O$).

En la representación de números complejos, identificando el plano con $\mathbb{C}$ y $O$ con el origen: $\mathcal{S}(O, k, \theta)(z) = k e^{i\theta} z$. Si $O$ no es el origen sino el punto $\omega_0 \in \mathbb{C}$: $\mathcal{S}(\omega_0, k, \theta)(z) = k e^{i\theta}(z - \omega_0) + \omega_0$.

El único punto fijo de $\mathcal{S}(O, k, \theta)$ con $k \neq 1$ o $\theta \neq 0$ es el centro $O$ (cuando $k \neq 1$) o todos los puntos del plano si $k=1$ y $\theta = 0$. Para $k=1$ y $\theta \neq 0$ la espiral es una rotación pura, con centro $O$.

Observación sobre la órbita de un punto. Bajo las iteradas $\mathcal{S}^n = \mathcal{S} \circ \cdots \circ \mathcal{S}$ ($n$ veces), el punto $P$ describe la órbita $P_n = \mathcal{S}^n(P)$ con $|OP_n| = k^n |OP|$ y $\arg(P_n - O) = \arg(P-O) + n\theta$. Si $k < 1$ la órbita espira hacia $O$; si $k > 1$ se aleja en espiral; si $k = 1$ describe un polígono regular o una circunferencia (si $\theta = 2\pi/n$).

Construcción del centro de la espiral dada una semejanza $AB \sim CD$

El problema fundamental de construcción es: dados dos segmentos orientados $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{CD}$ (con $AB/CD = k$ y $\angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = \theta$), encontrar el centro $O$ de la espiral de semejanza $\mathcal{S}$ tal que $\mathcal{S}(A) = C$ y $\mathcal{S}(B) = D$.

Teorema (Centro de la espiral). El centro $O$ de la semejanza que lleva $A \mapsto C$ y $B \mapsto D$ es el segundo punto de intersección de los circuncírculos $\omega_1 = (ABD)$ y $\omega_2 = (ACD)$. (El "primero" sería el punto $A$ si los círculos son tangentes, pero en general los dos círculos se cortan en $A$ y en $O$; si $A$ fuera imagen de sí mismo se reemplaza por otro punto base.)

Demostración. Sea $O$ el segundo punto de intersección de $(ACD)$ y $(ABD)$. Como $O$, $A$, $C$, $D$ son concíclicos, el ángulo inscrito da $\angle(OA, OC) = \angle(DA, DC)$ (ángulos que subtienden el arco $OC$ en $(ACD)$). Como $O$, $A$, $B$, $D$ son concíclicos, igualmente $\angle(OA, OD) = \angle(BA, BD)$ (ángulos que subtienden el arco $OD$ en $(ABD)$). De aquí $\angle(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC}) = \angle(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OD}) + \angle(\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OC})$... Un análisis cuidadoso con ángulos orientados muestra que $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ (misma orientación, mismo ángulo en $O$, misma razón de semejanza), lo que prueba que $\mathcal{S}(O, CD/AB, \angle(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC}))$ lleva $A \mapsto C$ y $B \mapsto D$. $\square$

Receta práctica. Para encontrar el centro de la espiral que lleva $\overline{AB}$ a $\overline{CD}$: construye el circuncírculo de $\triangle ABD$ (o $\triangle ABC$) y el circuncírculo de $\triangle ACD$ (o $\triangle BCD$); su segunda intersección es $O$. En la práctica olímpica, la existencia de este punto se invoca sin construirlo explícitamente: basta saber que existe y que los cuatro puntos "se ven" desde $O$ con ciertos ángulos iguales.

La espiral de semejanza y los círculos: órbitas y lugares geométricos

Proposición. Sea $\mathcal{S} = \mathcal{S}(O, k, \theta)$ una espiral de semejanza y sea $P$ un punto. El conjunto de puntos $\{\mathcal{S}(P) : P \in \omega\}$ para una circunferencia $\omega$ es otra circunferencia $\omega'$ semejante a $\omega$ con razón $k$ (y la correspondencia es una semejanza directa).

Proposición (Lugar del centro). Dados dos puntos variables $P$ en una recta $\ell$ y $Q = \mathcal{S}(P)$ su imagen bajo una espiral fija, el lugar de los puntos medios de $PQ$ es una circunferencia. Más en general, cualquier combinación lineal fija de $P$ y $Q$ describe una circunferencia (o una recta si el coeficiente de $Q$ es cero en la combinación baricéntrica).

Proposición fundamental para concursos. Sea $ABCD$ un cuadrilátero y sea $O$ el centro de la espiral de semejanza que lleva $AB \mapsto DC$ (es decir, $A \mapsto D$ y $B \mapsto C$). Entonces $O$ pertenece al circuncírculo de $\triangle ABX$ donde $X = AC \cap BD$, y también al circuncírculo de $\triangle DCX$. Este hecho permite deducir concurrencias y ángulos con gran potencia.

Ejemplo paradigmático (IMO 2005/5). En el triángulo $\triangle ABC$, sea $P$ un punto interior tal que $\angle APB - \angle ACB = \angle APC - \angle ABC$. Sea $D$ el incentro de $\triangle BPC$. Si la espiral de semejanza centrada en $A$ que lleva $B \mapsto P$ lleva $P \mapsto C$, demuestra que $A$, $D$, $P$ son colineales (condensación del enunciado). La clave es que la condición angular significa que la espiral $\mathcal{S}(A, AP/AB, \angle BAP)$ tiene una propiedad especial respecto al incentro, que se demuestra rastreando los ángulos inscritos en los círculos $(ABP)$ y $(APC)$.

Propiedades adicionales y técnica de los complejos

La técnica de coordenadas complejas es ideal para trabajar con espirales de semejanza. Si $\mathcal{S}(z) = az + b$ es una semejanza directa ($a \neq 0, 1$), su único punto fijo es $O = b/(1-a)$. Para verificar que tres puntos $P$, $Q$, $R$ están en posición tal que existe una espiral que lleva $P \mapsto Q$ y $Q \mapsto R$, basta comprobar que $\frac{Q - O}{P - O} = \frac{R - O}{Q - O}$, es decir, $O$, $P$, $Q$, $R$ están en progresión geométrica compleja.

Condición de semejanza directa en complejos. El triángulo $OPQ$ es semejante directamente al triángulo $OQR$ si y solo si $\frac{Q-O}{P-O} = \frac{R-O}{Q-O}$, equivalentemente $(Q-O)^2 = (P-O)(R-O)$.

Composición de dos espirales. La composición $\mathcal{S}_2 \circ \mathcal{S}_1$ de dos espirales de semejanza es otra semejanza directa (o una traslación si las razones se cancelan de cierta manera). La razón de la composición es el producto de las razones, y el ángulo es la suma de los ángulos. El centro de la composición se calcula resolviendo $\mathcal{S}_2(\mathcal{S}_1(O)) = O$.

Punto de Miquel de un triángulo. Si sobre los lados $BC$, $CA$, $AB$ del triángulo $\triangle ABC$ se eligen puntos $D$, $E$, $F$ respectivamente, los tres circuncírculos de $\triangle AEF$, $\triangle BFD$ y $\triangle CDE$ concurren en un punto $M$, el punto de Miquel. Este punto es precisamente el centro de la espiral de semejanza que lleva $\triangle DEF$ a $\triangle ABC$ (con la orientación adecuada). La demostración usa el teorema del ángulo inscripto tres veces y la condición de concurrencia en un punto común de los tres círculos.