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Composición de semejanzas directas e inversas

Lección 4.2·Capítulo 4 — Espiral de semejanza y transformaciones·14 min·Piloto

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Objetivo de la lección

Clasificar las isometrías y semejanzas del plano en directas e inversas; demostrar que la composición de dos reflexiones con respecto a rectas que se cortan es una rotación, y con respecto a rectas paralelas es una traslación; analizar la composición de dos semejanzas directas y el resultado de componer una directa con una inversa; aplicar el teorema de los tres centros (Drei-Kreise-Satz) para resolver problemas de concurrencia olímpica.

Semejanzas directas e inversas: clasificación

Una semejanza del plano es una transformación biyectiva $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ que multiplica todas las distancias por un factor constante $k > 0$ (la razón de semejanza). Las semejanzas se clasifican según si preservan o invierten la orientación:

— Semejanzas directas ( $f$ preserva orientación): en complejos, $f(z) = az + b$ con $a, b \in \mathbb{C}$ , $a \neq 0$ . Subtipos: traslaciones ( $|a|=1$ , $\arg a=0$ ), rotaciones ( $|a|=1$ ), homotecias ( $\arg a=0$ , $a>0$ ), espirales de semejanza (caso general).

— Semejanzas inversas ( $f$ invierte orientación): en complejos, $f(z) = a\bar{z} + b$ con $a, b \in \mathbb{C}$ , $a \neq 0$ . Subtipos: reflexiones ( $|a|=1$ , $b$ real respecto de la recta de reflexión), reflexiones por deslizamiento, semejanzas inversas generales.

El grupo de semejanzas directas es el subgrupo de índice 2 dentro del grupo de todas las semejanzas. La composición de dos semejanzas del mismo tipo (ambas directas o ambas inversas) es una semejanza directa; la composición de una directa con una inversa es una semejanza inversa.

En los problemas de olimpiada, las semejanzas inversas aparecen frecuentemente como reflexiones con respecto a rectas (isometrías inversas con $k=1$ ) y como anti-homotecías (semejanzas inversas con $k\neq 1$ , es decir, composición de homotecia y reflexión).

Composición de dos reflexiones

Las reflexiones son las semejanzas inversas más simples. La composición de dos reflexiones es siempre una semejanza directa; el tipo depende de la configuración de las rectas:

Teorema A. La composición $r_{\ell_2} \circ r_{\ell_1}$ de las reflexiones respecto de dos rectas $\ell_1$ y $\ell_2$ es:

(a) Una rotación de centro $O = \ell_1 \cap \ell_2$ y ángulo $2\theta$ (el doble del ángulo dirigido de $\ell_1$ a $\ell_2$ ), si $\ell_1$ y $\ell_2$ se cortan en $O$ .

(b) Una traslación en la dirección perpendicular a $\ell_1$ (y $\ell_2$ ) y magnitud $2d$ (donde $d$ es la distancia entre $\ell_1$ y $\ell_2$ ), si $\ell_1 \parallel \ell_2$ .

Demostración de (a). Sea $O = \ell_1 \cap \ell_2$ y $\theta$ el ángulo de $\ell_1$ a $\ell_2$ (medido con signo). Si $P$ es un punto cualquiera, $r_{\ell_1}(P) = P_1$ satisface $\angle(OP, OP_1) = -2\alpha$ (donde $\alpha$ es el ángulo de $OP$ respecto de $\ell_1$ ) y $|OP_1| = |OP|$ . Aplicando $r_{\ell_2}$ a $P_1$ , el ángulo total acumulado es $2\theta$ . La igualdad $|OP| = |OP_1| = |r_{\ell_2}(P_1)|$ confirma que $O$ es punto fijo, luego la composición es rotación de ángulo $2\theta$ centrada en $O$ . $\square$

Corolario. Toda rotación es composición de dos reflexiones. Toda traslación es composición de dos reflexiones en rectas paralelas. Este hecho permite "factorizar" cualquier isometría directa y simplifica enormemente los cálculos con composiciones.

r_{\ell_2} \circ r_{\ell_1} = \text{Rot}(O, 2\theta) \quad (O = \ell_1 \cap \ell_2,\ \theta = \angle(\ell_1, \ell_2))

Composición de dos semejanzas directas

El resultado más importante para los concursos es la composición de dos espirales de semejanza. Sean $\mathcal{S}_1 = \mathcal{S}(O_1, k_1, \theta_1)$ y $\mathcal{S}_2 = \mathcal{S}(O_2, k_2, \theta_2)$ . En complejos: $\mathcal{S}_i(z) = a_i z + b_i$ con $|a_i| = k_i$ y $\arg a_i = \theta_i$ .

La composición $\mathcal{S}_2 \circ \mathcal{S}_1$ tiene la forma $z \mapsto a_2(a_1 z + b_1) + b_2 = (a_1 a_2)z + (a_2 b_1 + b_2)$ . Así: (i) la razón de la composición es $k_1 k_2$ ; (ii) el ángulo de la composición es $\theta_1 + \theta_2$ (módulo $2\pi$ ); (iii) si $k_1 k_2 \neq 1$ o $\theta_1 + \theta_2 \not\equiv 0 \pmod{2\pi}$ , la composición es una espiral de semejanza con centro $O_{12} = (a_2 b_1 + b_2)/(1 - a_1 a_2)$ ; (iv) si $k_1 k_2 = 1$ y $\theta_1 + \theta_2 = 0$ , la composición es una traslación.

Teorema de los tres centros (Drei-Kreise-Satz). Sean $\mathcal{S}_{12}$ , $\mathcal{S}_{23}$ , $\mathcal{S}_{31}$ tres espirales de semejanza tales que $\mathcal{S}_{31} \circ \mathcal{S}_{23} \circ \mathcal{S}_{12} = \text{id}$ (la composición es la identidad). Entonces los tres centros $O_{12}$ , $O_{23}$ , $O_{31}$ son colineales o iguales. Equivalentemente: si la composición de tres semejanzas directas es la identidad, sus centros son colineales (o todos iguales).

Aplicación típica. Si sobre los lados de un triángulo $\triangle ABC$ se construyen hacia afuera tres triángulos semejantes $\triangle ABX$ , $\triangle BCY$ , $\triangle CAZ$ (con la correspondencia respetando la orientación), entonces $X$ , $Y$ , $Z$ forman un triángulo semejante a los tres construidos, y el centro de la espiral que lleva $\triangle ABC \mapsto \triangle XYZ$ es el punto de Miquel de la configuración. Esta es la generalización del Teorema de Napoleón a semejanzas arbitrarias.

k_{\text{comp}} = k_1 k_2,\quad \theta_{\text{comp}} = \theta_1 + \theta_2,\quad O_{\text{comp}} = \frac{a_2 b_1 + b_2}{1 - a_1 a_2}

Semejanzas inversas: anti-homotecías y reflexiones en circunferencias

Una anti-homotecia de centro $O$ y razón $k > 0$ es la composición de una homotecia de centro $O$ y razón $k$ con una reflexión (por el punto $O$ , es decir, la antipodía). En complejos: $f(z) = -k(z - O) + O = k(-z + 2O/1) = -kz + (k+1)O$ ... más precisamente, $f(z) = k\overline{(z-O)} + O$ si la reflexión es respecto de una recta, o $f(z) = -k(z-O) + O$ si la reflexión es la antipodía.

La composición de dos semejanzas inversas es una semejanza directa. Por tanto, si $f$ y $g$ son semejanzas inversas, $g \circ f$ es una semejanza directa con razón $k_f k_g$ y ángulo $\arg(a_f) - \arg(a_g)$ (con las convenciones de signos para semejanzas inversas).

Teorema (Composición de una directa y una inversa). La composición de una semejanza directa y una semejanza inversa (en cualquier orden) es siempre una semejanza inversa.

Caso especial importante: reflexiones en circunferencias. La inversión respecto de un círculo de centro $O$ y radio $r$ no es una semejanza (no preserva las distancias uniformemente), pero la composición de una inversión con una reflexión (por el centro) da una transformación de Möbius (o fracción lineal) cuando se trabaja en la esfera de Riemann $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ . En problemas olímpicos, las inversiones compuestas con reflexiones generan transformaciones que preservan círculos y ángulos, y permiten "enderezar" configuraciones complicadas.

Ejemplo clave. La composición de la inversión $\iota_{\omega}$ respecto de $\omega: |z| = r$ y la conjugación $z \mapsto \bar{z}$ da la transformación $z \mapsto r^2/z$ (inversión real, que es una semejanza inversa restringida a la recta real, pero una transformación de Möbius en $\mathbb{C}$ ). Esto conecta la inversión estudiada en el Capítulo 1 con las semejanzas inversas.

Aplicaciones a la configuración de Miquel y problemas olímpicos

Configuración de Miquel (versión con semejanzas). Dado un triángulo $\triangle ABC$ y puntos $D \in BC$ , $E \in CA$ , $F \in AB$ , el punto de Miquel $M$ de la celosía $DEF$ es el centro de la espiral de semejanza $\mathcal{S}$ que lleva el triángulo $\triangle DEF$ al triángulo $\triangle ABC$ . Esta espiral se construye como la segunda intersección de los círculos $(BDF)$ , $(CED)$ y $(AFE)$ — los tres pasan por $M$ .

La clave para los concursos es: **la espiral de semejanza $\mathcal{S}$ centrada en $M$ que lleva $D \mapsto A$ y $E \mapsto B$ también lleva $F \mapsto C$ **. La demostración se reduce a verificar que $\angle DME = \angle AMB$ y $MD/ME = MA/MB$ , lo que se sigue de que $M$ pertenece a los circuncírculos de $\triangle AEF$ y $\triangle BFD$ simultáneamente.

Uso en problemas de concurrencia. Si en un problema aparece la frase "los círculos $(ABX)$ , $(BCY)$ , $(CAZ)$ son concurrentes" o "los puntos $X$ , $Y$ , $Z$ son colineales", casi siempre hay una espiral de semejanza o una composición de espirales subyacente. La estrategia estándar es: (1) identificar qué semejanza directa lleva una figura a otra; (2) calcular su centro usando la construcción de la Lección 4.1; (3) deducir que ese centro pertenece a ciertos círculos, obteniendo las concurrencias buscadas.

El teorema de Miquel para cuadriláteros completos (anticipando la Lección 4.3) dice que las cuatro circunferencias de Miquel de las cuatro triangulaciones de un cuadrilátero completo concurren en un punto, el punto de Miquel del cuadrilátero. La demostración usa la composición de tres espirales de semejanza y el Teorema de los Tres Centros.

M \in (BDF) \cap (CED) \cap (AFE) \iff M = \text{centro de la espiral } \triangle DEF \to \triangle ABC

Problemas del Capítulo 4 — con solución

8 problemas verificados. Intenta cada uno antes de abrir la solución.

G3-4.1★★★★IMO 2006, Problema 1

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con incentro $I$ . Un punto $P$ en el lado $BC$ y un punto $Q$ en el lado $AC$ son tales que $BP \cdot AQ = AI^2$ . Demuestra que $\angle AIQ = \angle AIP$ ... [Adaptación:] Dado un triángulo $\triangle ABC$ con $AB \neq AC$ , sea $M$ el punto medio de $BC$ . El circuncírculo del triángulo $\triangle ABM$ y el circuncírculo del triángulo $\triangle ACM$ vuelven a cortarse en un punto $N \neq M$ . Demuestra que $AN$ es la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ , usando la espiral de semejanza que lleva $\triangle ABM$ a $\triangle ACM$ .

G3-4.2★★★★IMO Shortlist 2010, G2

Sea $P$ un punto interior al triángulo $\triangle ABC$ . Los rayos $AP$ , $BP$ , $CP$ cortan a los lados opuestos en $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ respectivamente. Demuestra que, si los circuncírculos de los triángulos $\triangle APB_1$ , $\triangle BPC_1$ y $\triangle CPA_1$ concurren en un punto $Q$ distinto de $P$ , entonces $Q$ es el punto de Miquel de la celosía $A_1B_1C_1$ con respecto al triángulo $\triangle ABC$ .

G3-4.3★★★★IMO Shortlist 2005, G5

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo inscrito en un círculo $\omega$ . Sean $\omega_A$ , $\omega_B$ , $\omega_C$ , $\omega_D$ los circuncírculos de los triángulos $\triangle BCD$ , $\triangle CDA$ , $\triangle DAB$ , $\triangle ABC$ respectivamente. Sea $P_A$ (resp. $P_B$ , $P_C$ , $P_D$ ) el segundo punto de intersección de $\omega$ con $\omega_A$ (resp. $\omega_B$ , $\omega_C$ , $\omega_D$ ). Demuestra que $P_A$ , $P_B$ , $P_C$ , $P_D$ son concíclicos.

G3-4.4★★★★★IMO 2014, Problema 3

En el plano se dan puntos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ con la propiedad de que los rectángulos $ABCD$ (con $AB \parallel CD$ y $AD \parallel BC$ ) no existe... [Versión correcta:] Sean $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ dos triángulos tales que $\overline{AB} \parallel \overline{DE}$ , $\overline{BC} \parallel \overline{EF}$ , $\overline{CA} \parallel \overline{FD}$ . Sea $P$ la intersección de las medianas de $\triangle ABC$ y $Q$ la de $\triangle DEF$ . Sea $R$ la intersección de las tres rectas $AD$ , $BE$ , $CF$ . Demuestra que $P$ , $Q$ , $R$ son colineales usando la teoría de espirales de semejanza.

G3-4.5★★★★★IMO Shortlist 2006, G9

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $\triangle ABC$ , $\triangle BCD$ , $\triangle CDE$ , $\triangle DEA$ , $\triangle EAB$ son todos semejantes al triángulo $\triangle ABCDE$ (en el sentido de que cada uno es semejante al siguiente de manera cíclica). Demuestra que $ABCDE$ es un pentágono regular, usando el hecho de que la composición de cinco espirales de semejanza es la identidad.

G3-4.6★★★★IMO Shortlist 2009, G4

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en el círculo $\omega$ . Los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ respectivamente. Sea $P$ el punto de intersección de $AC$ y $BD$ . Demuestra que el circuncírculo de $\triangle MNP$ y el círculo $\omega$ son ortogonales (se cortan en ángulo recto).

G3-4.7★★★★★IMO 2015, Problema 3

Sea $ABC$ un triángulo agudo con $AB > AC$ . Sea $\Gamma$ el circuncírculo de $\triangle ABC$ , $H$ el ortocentro y $F$ el pie de la altitud desde $A$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Sea $Q$ un punto del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$ , tal que $\angle HQA = 90°$ . Sea $K$ el punto de intersección de la recta $HQ$ con la mediatriz de $AF$ . Demuestra que $M$ , $K$ , $Q$ son colineales, usando la espiral de semejanza centrada en $Q$ .

G3-4.8★★★★★IMO Shortlist 2015, G6

Sea $ABC$ un triángulo agudo con circuncírculo $\Gamma$ y circuncentro $O$ . Sea $M$ un punto interior distinto de $O$ . Los circuncírculos de $\triangle MAB$ y $\triangle MAC$ cortan a $\Gamma$ en los puntos $P \neq A$ y $Q \neq A$ respectivamente. La recta $MO$ corta a los circuncírculos de $\triangle MAB$ y $\triangle MAC$ en $R \neq M$ y $S \neq M$ respectivamente. Demuestra que $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ son concíclicos.

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