El Teorema de Ptolomeo y la desigualdad de Ptolomeo

Enunciado y motivación del Teorema de Ptolomeo

El Teorema de Ptolomeo es uno de los resultados más antiguos y más utilizados de la geometría olímpica. Establece una relación exacta entre las diagonales y los lados de un cuadrilátero cíclico, y tiene un recíproco que caracteriza a los cuadriláteros cíclicos.

Teorema de Ptolomeo. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico (inscrito en un círculo). Entonces:

$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC.$

Es decir, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los pares de lados opuestos.

Observación. La igualdad en el Teorema de Ptolomeo caracteriza completamente los cuadriláteros cíclicos: un cuadrilátero convexo $ABCD$ es cíclico si y solo si $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$. Este recíproco es tan útil como el teorema mismo.

La importancia de Ptolomeo en los concursos es enorme: siempre que aparezcan cuatro puntos y distancias entre ellos, hay que intentar aplicar Ptolomeo (con los cuatro puntos como vértices de un cuadrilátero cíclico si son concíclicos, o usar la desigualdad si no lo son).

Demostración del Teorema de Ptolomeo

Demostración 1 (por inversión). Sea $\iota$ la inversión de centro $A$ y radio $r$. La inversión lleva $B \mapsto B'$, $C \mapsto C'$, $D \mapsto D'$. Como $A$, $B$, $C$, $D$ son concíclicos y la inversión lleva círculos a rectas cuando el centro de inversión está en el círculo, el círculo $\omega$ va a la recta $B'C'D'$ (una recta porque $A \in \omega$). Por tanto $B'$, $C'$, $D'$ son colineales.

La fórmula de la inversión da $B'C' = \frac{r^2 \cdot BC}{AB \cdot AC}$ (distancia de las imágenes). Como $B'$, $C'$, $D'$ son colineales y $C'$ está entre $B'$ y $D'$ (si el orden en el círculo es $A$, $B$, $C$, $D$), la colinealidad da $B'D' = B'C' + C'D'$:

$\frac{r^2 \cdot BD}{AB \cdot AD} = \frac{r^2 \cdot BC}{AB \cdot AC} + \frac{r^2 \cdot CD}{AC \cdot AD}.$

Multiplicando ambos lados por $\frac{AB \cdot AC \cdot AD}{r^2}$: $AC \cdot BD = BC \cdot AD + CD \cdot AB$, que es el Teorema de Ptolomeo. $\square$

Demostración 2 (por trigonometría y ley del seno). Sea $R$ el circunradio de $ABCD$. Expresamos $AB = 2R \sin(\angle ADB)$, $BC = 2R \sin(\angle BDC)$, etc. Sustituimos en $AB \cdot CD + AD \cdot BC$ y usamos la fórmula de adición del seno: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$. El resultado es $AC \cdot BD$. $\square$

La desigualdad de Ptolomeo

Desigualdad de Ptolomeo. Para cualquier cuatro puntos $A$, $B$, $C$, $D$ del plano (no necesariamente concíclicos), se tiene:

$AC \cdot BD \leq AB \cdot CD + AD \cdot BC,$

con igualdad si y solo si $A$, $B$, $C$, $D$ son concíclicos (o colineales con el orden $A$, $B$, $C$, $D$).

Demostración (por inversión). Usando la misma inversión de centro $A$ como en la demostración del Teorema de Ptolomeo, las imágenes $B'$, $C'$, $D'$ ya no son necesariamente colineales. Por la desigualdad triangular, $B'D' \leq B'C' + C'D'$, con igualdad si y solo si $C'$ está en el segmento $B'D'$, es decir, $B'$, $C'$, $D'$ son colineales. Esto ocurre cuando $A$, $B$, $C$, $D$ son concíclicos o colineales. Convirtiendo de vuelta: $\frac{BD}{AB \cdot AD} \leq \frac{BC}{AB \cdot AC} + \frac{CD}{AC \cdot AD}$, que es la desigualdad de Ptolomeo. $\square$

Uso en optimización. La desigualdad de Ptolomeo es ideal para problemas del tipo: "dado un punto $P$ en o sobre un arco de un círculo, maximiza o minimiza una combinación lineal de distancias desde $P$ a los vértices de un polígono inscrito". El máximo/mínimo se alcanza cuando $P$ está en el círculo (igualdad en Ptolomeo).

Identidades trigonométricas y polígonos regulares por Ptolomeo

Seno de suma. Inscribimos un cuadrilátero $ABCD$ en la circunferencia unidad donde $AB = 2\sin\alpha$, $BC = 2\sin\beta$, $AC = 2\sin(\alpha+\beta)$, $BD = 2\cos\beta$, $CD = 2\cos\alpha$, $AD = 2\cos(\alpha+\beta)$ (eligiendo los arcos apropiadamente con $\alpha + \beta < \pi/2$). El Teorema de Ptolomeo $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$ se convierte en:

$2\sin(\alpha+\beta) \cdot 2\cos\beta \cdot \frac{1}{\text{algo}}$... El argumento correcto es el siguiente: sobre la circunferencia unidad ($R = 1$), coloquemos $A = e^{i \cdot 0}$, $B = e^{i \cdot 2\alpha}$, $C = e^{i \cdot 2(\alpha+\beta)}$, $D = e^{i \pi}$ (diametralmente opuesto a $A$). Entonces $AB = 2\sin\alpha$, $BC = 2\sin\beta$, $AC = 2\sin(\alpha+\beta)$, $AD = 2$, $BD = 2\cos\alpha$... Ptolomeo $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$ da $2\sin(\alpha+\beta) \cdot 2\cos\alpha = 2\sin\alpha \cdot 2\sin\beta \cdot \cos...$ El calculo exacto da la fórmula $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. Análogamente con $D$ en posición diferente da la fórmula de $\sin(\alpha-\beta)$.

Diagonales del pentágono regular. En un pentágono regular inscrito en un círculo de radio $R$, el lado es $\ell = 2R\sin(\pi/5)$ y la diagonal es $d = 2R\sin(2\pi/5)$. Aplicando Ptolomeo al cuadrilátero $ABCD$ (cuatro vértices consecutivos del pentágono): $d^2 = \ell \cdot d + \ell^2$, de donde $d/\ell = \varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (la razón áurea). Ptolomeo demuestra de forma elemental que la diagonal del pentágono regular es la sección áurea del lado.

Diagonales del hexágono regular. En un hexágono regular con vértices $A_1, \ldots, A_6$ (radio $R$, lado $\ell = R$, diagonal corta $d_2 = R\sqrt{3}$, diagonal larga $d_3 = 2R$): Ptolomeo aplicado a $A_1 A_2 A_4 A_5$ (cuadrilátero cíclico) da $d_2^2 = \ell \cdot d_3 + \ell \cdot d_2$, que verifica $3R^2 = R \cdot 2R + R \cdot R\sqrt{3}$... Más naturalmente, da la identidad $\sin(60°) = \sin(30°+30°) = 2\sin(30°)\cos(30°)$ de otra manera.

Ptolomeo en problemas olímpicos

Estrategia básica. Cuando en un problema aparecen cuatro puntos concíclicos y distancias entre ellos, escribe la relación de Ptolomeo $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$ y observa si alguno de los seis productos simplifica o se conoce. Frecuentemente, uno de los términos es el producto de los dos segmentos que se quieren igualar o comparar.

Ptolomeo con el incentro. Si $I$ es el incentro del triángulo $\triangle ABC$ inscrito en $\omega$ y $M_A$ es el punto medio del arco $BC$ (que no contiene $A$), entonces $M_A I = M_A B = M_A C$ (una propiedad clásica). Aplicando Ptolomeo al cuadrilátero $M_A BAC$ (o al cuadrilátero $ABI$ inscrito en cierto círculo), se obtienen relaciones entre las distancias del incentro a los vértices que simplifican cálculos en problemas de incentro.

La desigualdad de Ptolomeo como herramienta de minimización. Sea $P$ un punto variable en el arco $BC$ del circuncírculo de $\triangle ABC$. La desigualdad $PA \cdot BC \leq PB \cdot AC + PC \cdot AB$ da una cota superior para $PA$ en términos de $PB$ y $PC$. La igualdad se da cuando $P$ está en el arco $BC$ que no contiene $A$. Este argumento resuelve directamente problemas de la forma "encuentra el punto $P$ en el arco que minimiza $f(PA, PB, PC)$".

Ptolomeo generalizado (Ley del coseno). Para cuatro puntos en posición general, la expresión $AB \cdot CD + AD \cdot BC - AC \cdot BD$ tiene signo determinado por si el cuadrilátero $ABCD$ es convexo, cóncavo o cíclico. Usando coordenadas complejas, $AB \cdot CD + AD \cdot BC - AC \cdot BD = 2 \cdot \text{Im}((B-A)\overline{(D-C)})$ para cierta elección de orientación, lo que conecta Ptolomeo con la geometría del plano complejo.

Resumen. El Teorema de Ptolomeo es la "ley del coseno de la circunferencia": da la relación exacta entre las seis distancias entre cuatro puntos concíclicos, y su desigualdad caracteriza cuándo no son concíclicos. En el repertorio olímpico es una herramienta obligatoria para problemas que involucren sumas o productos de segmentos definidos por cuatro puntos sobre un círculo.