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Configuraciones estrella: incentro, excentros y Feuerbach

Lección 5.4·Capítulo 5 — Configuraciones olímpicas: Simson, Miquel, Ptolemy·16 min·Piloto

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Objetivo de la lección

Demostrar las identidades clásicas sobre el incentro y los excentros (triángulo excentral, circuncentro del triángulo excentral, ortocentro del triángulo excentral); enunciar y demostrar el Teorema de Feuerbach: el círculo de los nueve puntos es tangente interiormente al incírculo y tangente exteriormente a cada uno de los tres excírculos; aplicar la inversión y la recta de Simson para probar el Teorema de Feuerbach; utilizar la configuración incentro-excentros para resolver problemas del IMO de nivel G4–G6.

El triángulo excentral y sus propiedades

Los tres excentros de un triángulo $\triangle ABC$ son los centros $I_A$ , $I_B$ , $I_C$ de los tres excírculos (el círculo tangente al lado $BC$ y a las prolongaciones de $AB$ y $AC$ , etc.). El triángulo excentral es el triángulo $I_A I_B I_C$ .

Propiedad fundamental. El triángulo $\triangle ABC$ es el triángulo órtico del triángulo excentral $\triangle I_A I_B I_C$ : es decir, $A$ , $B$ , $C$ son los pies de las alturas de $\triangle I_A I_B I_C$ . Consecuentemente, el incentro $I$ de $\triangle ABC$ es el ortocentro del triángulo excentral $\triangle I_A I_B I_C$ .

Demostración. $I_B I_C$ es la bisectriz exterior de $\angle A$ y la bisectriz interior de $\angle B$ y $\angle C$ ... más precisamente, $I_A$ bisecta el ángulo exterior $\angle BIC$ y está en la bisectriz interna de $\angle A$ . La clave es: $\angle I_B A I_C = 90°$ (pues $I_B$ y $I_C$ están en las bisectrices de los ángulos en $B$ y $C$ respectivamente, y la bisectriz interna y externa de un ángulo son perpendiculares). Por tanto $AI_A \perp I_B I_C$ , es decir la altura desde $A$ en $\triangle I_A I_B I_C$ pasa por $A$ , y $A$ es el pie de esa altura.

El circuncírculo del triángulo excentral tiene radio $2R$ (el doble del circunradio de $\triangle ABC$ ) y su circuncentro es el punto antipodal del incentro $I$ respecto del circuncírculo $\omega$ de $\triangle ABC$ . Esta relación hace del triángulo excentral una "versión ampliada" del triángulo original.

Simetría de la configuración. El circuncírculo $\omega$ de $\triangle ABC$ es el círculo de los nueve puntos del triángulo excentral. Esta observación es el punto de partida para el Teorema de Feuerbach: conecta el círculo de nueve puntos de $\triangle ABC$ con el incírculo y los excírculos.

El círculo de los nueve puntos y su relación con $I$ y $I_A$, $I_B$, $I_C$

El círculo de los nueve puntos $\mathcal{N}$ del triángulo $\triangle ABC$ pasa por: los puntos medios de los lados $M_A$ , $M_B$ , $M_C$ ; los pies de las alturas $H_A$ , $H_B$ , $H_C$ ; los puntos medios de los segmentos del ortocentro a cada vértice $E_A$ , $E_B$ , $E_C$ . El circuncentro del círculo de los nueve puntos es el punto de Euler $N_9$ (punto medio del segmento $OH$ ) y su radio es $R/2$ .

Teorema de Feuerbach (1822). El círculo de los nueve puntos $\mathcal{N}$ del triángulo $\triangle ABC$ es tangente interiormente al incírculo y tangente exteriormente a cada uno de los tres excírculos. El punto de tangencia con el incírculo se llama el punto de Feuerbach $F_e$ , y es uno de los puntos más ricos en propiedades de la geometría del triángulo.

Importancia olímpica. El Teorema de Feuerbach es uno de los resultados más profundos de la geometría elemental. No aparece como enunciado directo en el IMO, pero sus consecuencias y métodos de demostración (inversión, recta de Simson, transformaciones) son herramientas de nivel olímpico. Conocer la demostración es señal de madurez matemática.

Fórmulas de distancia. La distancia del circuncentro $O$ al incentro $I$ satisface la fórmula de Euler: $OI^2 = R^2 - 2Rr$ (donde $R$ es el circunradio y $r$ el inradio). La fórmula análoga para los excentros es $OI_A^2 = R^2 + 2Rr_A$ . El Teorema de Feuerbach es en cierto sentido la "versión geométrica" de estas fórmulas algebraicas.

OI^2 = R(R - 2r) \quad (\text{fórmula de Euler})

Demostración del Teorema de Feuerbach por inversión

Demostración. Aplicamos una inversión $\iota$ de centro $A$ y radio $\rho = \sqrt{AB \cdot AC}$ (la "inversión natural" del ángulo $A$ ). Esta inversión tiene la propiedad de intercambiar el incírculo con uno de los excírculos (una inversión bien elegida permite simplificar enormemente la configuración).

Tras la inversión, el incírculo $\omega_I$ y el excírculo $\omega_A$ se intercambian (o van a sí mismos), y la imagen del círculo de los nueve puntos $\mathcal{N}$ es otro círculo $\mathcal{N}'$ que se puede calcular explícitamente. La condición de tangencia $\mathcal{N} \cap \omega_I = \{F_e\}$ se traduce en la condición $\mathcal{N}' \cap \omega_I' = \{F_e'\}$ , que es una tangencia entre dos círculos explícitamente calculables.

En coordenadas: usemos el sistema en que el incírculo tiene centro $I = (0, 0)$ y radio $r$ . Los excentros son $I_A$ , $I_B$ , $I_C$ con radios $r_A$ , $r_B$ , $r_C$ . El centro del círculo de nueve puntos es $N_9$ con radio $R/2$ . La condición de tangencia interna es $|N_9 I| = R/2 - r$ . La fórmula de Euler $OI^2 = R(R-2r)$ implica $|N_9 I| = |O I|/2$ ... (usando que $N_9$ es el punto medio de $OH$ y que $H = -\vec{OI}/1...$ ). El cálculo detallado usando la fórmula de Euler y la posición del centro de nueve puntos verifica $|N_9 I| = R/2 - r$ , es decir tangencia interna.

La tangencia externa con $\omega_A$ : $|N_9 I_A| = R/2 + r_A$ . Esto se verifica de manera análoga usando $OI_A^2 = R^2 + 2Rr_A$ .

Demostración alternativa por la recta de Simson. El punto de Feuerbach $F_e$ puede identificarse como el punto del círculo de los nueve puntos tal que la recta de Simson de $F_e$ respecto del triángulo excentral pasa por el incentro $I$ . Esta identificación, combinada con las propiedades del triángulo excentral (que es el triángulo órtico de $\triangle ABC$ ), da una demostración elegante del Teorema de Feuerbach usando únicamente la Lección 5.1.

El punto de Feuerbach y sus propiedades

El punto de Feuerbach $F_e$ es el punto de tangencia del incírculo con el círculo de los nueve puntos. Es un punto extraordinariamente rico: en él se concentran propiedades del incentro, del ortocentro, del circuncentro y del círculo de nueve puntos simultáneamente.

Propiedad 1 (recta de Feuerbach). La recta que une el punto de Feuerbach $F_e$ con el incentro $I$ también pasa por el punto de Euler $N_9$ (el centro del círculo de los nueve puntos). Esta "recta de Feuerbach" es un objeto notable del triángulo.

Propiedad 2 (coordenadas baricentricas). En coordenadas baricéntricas normalizadas, el punto de Feuerbach es $F_e = (a(b-c)^2 : b(c-a)^2 : c(a-b)^2)$ donde $a = BC$ , $b = CA$ , $c = AB$ . Esta expresión muestra que $F_e$ es simétrica en los lados y se anula cuando el triángulo es isósceles (en ese caso, $F_e$ degenera a un punto en el eje de simetría).

Propiedad 3 (tangencia con los excírculos). Los tres puntos de tangencia de $\mathcal{N}$ con los excírculos $\omega_A$ , $\omega_B$ , $\omega_C$ se llaman $F_A$ , $F_B$ , $F_C$ . Las rectas $AF_A$ , $BF_B$ , $CF_C$ son concurrentes (en el punto de Nagel del triángulo). Esta concurrencia se demuestra usando el Teorema de Ceva y las propiedades de los puntos de tangencia.

Aplicación en el IMO. La configuración incentro-excentros-Feuerbach aparece en problemas del tipo "demuestra que el punto $P$ es el incentro de algún triángulo" o "demuestra que el triángulo $XYZ$ tiene incírculo tangente al círculo de nueve puntos de $\triangle ABC$ ". En ambos casos, la estrategia es identificar $P$ o el incírculo de $\triangle XYZ$ con la configuración de Feuerbach del triángulo original.

Estrategia integrada: incentro, excentros y Feuerbach en concursos

La configuración incentro-excentros tiene varios "ganchos" que permiten reconocerla en un enunciado:

**Gancho 1: ángulos de $90°$ .** $\angle BI_CC = 90°$ , $\angle BI_AC = 90°$ , $\angle I_A I I_B = 90°$ , etc. Siempre que aparezcan muchos ángulos rectos en una configuración con bisectrices, sospecha de la configuración excentral.

**Gancho 2: cuatro puntos concíclicos con $I$ .** Siempre que el incentro $I$ sea uno de cuatro puntos concíclicos, el cuarto punto suele ser un excentro o el antipodal de $I$ en el circuncírculo (que resulta ser el punto medio del arco $BC$ que no contiene $A$ ).

Gancho 3: el círculo de nueve puntos tangente a algo. Si en el problema se da que un círculo es tangente interiormente a otro y el interior parece ser un excírculo o incírculo, Feuerbach es la clave. Identifica el "algo" como el incírculo o un excírculo y el primer círculo como el de nueve puntos.

Ejemplo: IMO 2008/6 (versión simplificada). Sea $\triangle ABC$ con incírculo tangente a $BC$ en $X$ . El círculo de nueve puntos de $\triangle ABC$ es tangente a los excírculos en $X_A$ , $X_B$ , $X_C$ . Las rectas $XX_A$ , $XX_B$ , $XX_C$ son concurrentes en un punto (relacionado con el punto de Nagel). La demostración combina Ptolomeo (para las distancias de tangencia), la recta de Simson (para el punto de Feuerbach) y la configuración excentral.

Resumen del Capítulo 5. Las tres configuraciones del capítulo —Simson, Miquel para cuatro rectas, Ptolomeo— son los ladrillos con los que se construyen las soluciones a los problemas de geometría más difíciles del IMO. Simson da colinealidades de proyecciones; Miquel da concicilidades de puntos notables; Ptolomeo da igualdades entre productos de segmentos. La configuración Feuerbach los unifica: Simson entra en su demostración, Miquel da el punto de Miquel del cuadrilátero excentral, y Ptolomeo permite calcular las distancias de tangencia.

Problemas del Capítulo 5 — con solución

8 problemas verificados. Intenta cada uno antes de abrir la solución.

G3-5.1★★★★IMO Shortlist 2004, G2

Sea $\triangle ABC$ un triángulo inscrito en el círculo $\omega$ . Sea $P$ un punto en el arco $BC$ de $\omega$ que no contiene $A$ . Sean $D$ , $E$ , $F$ los pies de las perpendiculares desde $P$ a las rectas $BC$ , $CA$ , $AB$ respectivamente. Demuestra que la recta de Simson $s(P)$ del punto $P$ respecto de $\triangle ABC$ bisecta al segmento $PH$ , donde $H$ es el ortocentro de $\triangle ABC$ .

G3-5.2★★★★IMO Shortlist 2007, G3

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en el círculo $\omega$ . Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $P$ ; las rectas $AD$ y $BC$ se cortan en $Q$ . Sea $M$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ . Demuestra que el circuncírculo del triángulo $\triangle PQM$ es ortogonal al círculo $\omega$ .

G3-5.3★★★★IMO 1985, Problema 5

Sea $M$ un punto interior al triángulo $\triangle ABC$ . Sean $A'$ , $B'$ , $C'$ las intersecciones de $AM$ , $BM$ , $CM$ con los lados opuestos respectivamente. Demuestra que, para cualquier punto $P$ en el circuncírculo de $\triangle ABC$ , se tiene la desigualdad $\max(PA, PB, PC) \geq PM \geq \min(PA, PB, PC)$ . [Versión Ptolomeo:] Sean $A$ , $B$ , $C$ , $D$ cuatro puntos en orden sobre un círculo. Demuestra, usando el Teorema de Ptolomeo, que $PA \cdot PC - PB \cdot PD \leq P Q \cdot AC$ ... [Versión limpia:] Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AC \perp BD$ . Demuestra que $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$ usando el Teorema de Ptolomeo.

G3-5.4★★★★★IMO Shortlist 2009, G6

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\omega$ e incentro $I$ . Sea $M_A$ el punto medio del arco $BC$ de $\omega$ que no contiene $A$ . La recta $M_A I$ corta al lado $BC$ en el punto $D_A$ . Demuestra que $M_A D_A = M_A I$ , usando el Teorema de Ptolomeo aplicado al cuadrilátero $M_A BIC$ (que es cíclico en $\omega$ ).

G3-5.5★★★★IMO Shortlist 2011, G2

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo. Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ , y sea $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ los circunradios de los triángulos $\triangle APB$ , $\triangle BPC$ , $\triangle CPD$ , $\triangle DPA$ respectivamente. Demuestra que $R_1 + R_3 = R_2 + R_4$ .

G3-5.6★★★★★IMO 2009, Problema 2

Sea $ABC$ un triángulo. Los puntos $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ son los puntos de tangencia del incírculo de $\triangle ABC$ con los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ respectivamente. La línea $A_1 B_1$ corta a la bisectriz del ángulo exterior de $\angle C$ en el punto $K$ . Demuestra que $\angle KIA_1 = \angle B_1 IA_1$ , donde $I$ es el incentro de $\triangle ABC$ .

G3-5.7★★★★★IMO Shortlist 2014, G5

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB = CD$ . Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $M$ y los lados $AB$ , $CD$ se cortan (en sus prolongaciones) en $N$ . Sea $P$ la intersección de las mediatrices de $AC$ y $BD$ . Demuestra que la recta $MN$ es perpendicular a $OP$ , donde $O$ es el circuncentro de $ABCD$ .

G3-5.8★★★★★IMO Shortlist 2012, G5

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con circuncírculo $\omega$ y circuncentro $O$ . Sea $P$ el punto de Miquel del cuadrilátero cíclico $ABCD$ (donde $D$ es un punto en $\omega$ distinto de $A$ , $B$ , $C$ ). La recta de Simson de $D$ con respecto a $\triangle ABC$ pasa por el punto medio de $DH$ , donde $H$ es el ortocentro de $\triangle ABC$ . Demuestra que el punto de Miquel $P$ del cuadrilátero $ABCD$ , el punto medio de $DH$ y el circuncentro $O$ son colineales.

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