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Catálogo de primeras jugadas en geometría IMO

Lección 6.1·Capítulo 6 — Problemas IMO de geometría: taxonomía y estrategia·14 min·Piloto

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Objetivo de la lección

Sistematizar las primeras jugadas estándar ante un problema de geometría olímpica: identificar el tipo de configuración (cíclica, proyectiva, métrica, de transformaciones), elegir el marco de trabajo correcto (ángulos inscritos, potencia, inversión, espirales, coordenadas complejas, baricéntricas) y formular las primeras conjeturas auxiliares antes de comenzar a escribir una solución.

El arte de los primeros treinta segundos

En un examen del IMO, la diferencia entre resolver el problema de geometría y bloquearse en él se decide casi siempre en los primeros treinta segundos: el momento en que eliges qué hacer primero. Este catálogo sistematiza ese momento.

Un problema de geometría del IMO no es una colección de técnicas independientes. Es una configuración con una estructura interna: hay puntos que piden ser reconocidos como puntos notables (incentro, punto de Miquel, punto de Feuerbach...), relaciones angulares que piden ser escritas con ángulos inscritos o ángulos dirigidos, y una simetría o transformación subyacente que simplifica todo.

La primera jugada consiste en leer el enunciado buscando señales de identidad: ¿aparece una circunferencia? ¿Hay puntos definidos como intersecciones? ¿Hay ángulos iguales o razones iguales? Cada señal apunta a una familia de técnicas.

Las primeras jugadas no son heurísticas vagas. Son operaciones precisas: "dibuja el diagrama y marca los ángulos iguales", "escribe la condición de ciclicidad como igualdad de ángulos inscritos", "identifica si hay una espiral de semejanza presente". A continuación catalogamos las más frecuentes en el IMO.

Jugada 1: identificar puntos concíclicos ocultos

La mitad de los problemas de geometría del IMO contienen uno o más círculos adicionales que no están mencionados explícitamente en el enunciado. El objetivo de la primera jugada es descubrirlos.

Señal de alarma: aparecen cuatro o más puntos que podrían ser concíclicos. El criterio de concicilidad más rápido es: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ son concíclicos si y solo si $\angle BAC = \angle BDC$ (ángulos inscritos que subtienden el mismo arco). En ángulos dirigidos mod $180°$ : $(AB, AC) = (DB, DC)$ .

Procedimiento: enumera todos los cuádruples de puntos del enunciado. Para cada cuádruplo, comprueba si la igualdad de ángulos inscritos se puede deducir de los datos. Si la encuentras, marca el círculo correspondiente y úsalo como herramienta.

Ejemplo tipo: en IMO 2015, Problema 3, la clave es reconocer que cuatro puntos definidos a partir de la configuración son concíclicos. Una vez identificado ese círculo, la concurrencia pedida se convierte en una aplicación directa del Teorema de la Potencia.

Herramientas asociadas: Ángulos inscritos, potencia de un punto, Teorema de Ptolomeo (para verificar la concicilidad usando distancias), inversión (que convierte la concicilidad en colinealidad de las imágenes).

Jugada 2: buscar la transformación subyacente

Muchos problemas del IMO tienen una transformación geométrica (inversión, espiral de semejanza, reflexión, homotecia) que convierte la configuración en otra más simple. La segunda jugada es identificar esa transformación.

Señal de alarma: la configuración tiene "dos partes simétricas" o hay razones de segmentos que sugieren semejanza. Por ejemplo, si $\frac{PA}{PB} = \frac{PC}{PD}$ para algún punto $P$ , hay una homotecia o una espiral de semejanza con centro $P$ que lleva $\{A, C\}$ a $\{B, D\}$ .

Inversión: si el enunciado involucra tangencias de círculos, aplica inversión en el punto de tangencia. Si involucra la circunferencia de un triángulo y un punto en ella, aplica inversión en ese punto (el círculo va a una recta, el punto va al infinito, todo se simplifica).

Espirales de semejanza: si hay cuatro puntos con $\angle APB = \angle CPD$ y $\frac{PA}{PB} = \frac{PC}{PD}$ , hay una espiral de semejanza de centro $P$ que lleva $A \mapsto C$ y $B \mapsto D$ (o $A \mapsto D$ y $B \mapsto C$ ). Esta espiral suele ser el corazón del problema.

Reflexión y simetría: si el problema tiene dos "versiones simétricas" (por ejemplo, un resultado válido para $I$ y para $I_A$ ), hay probablemente una reflexión o una involución que intercambia las dos versiones. Identificar el eje o centro de esa involución es la clave.

Jugada 3: establecer el marco de coordenadas

Algunos problemas del IMO son más fáciles en un marco de coordenadas específico. La tercera jugada es elegir el marco antes de comenzar cualquier cálculo.

Coordenadas complejas en el círculo unitario: si el enunciado tiene un círculo fijo con varios puntos en él, sitúa ese círculo como el círculo unidad $|z| = 1$ . Los vértices de un triángulo inscrito son $a$ , $b$ , $c \in \mathbb{C}$ con $|a|=|b|=|c|=1$ . El ortocentro es $h = a+b+c$ , el circuncentro es $0$ , el punto medio de un arco $BC$ es $-\frac{\sqrt{bc}}{1}$ ... Las fórmulas son compactas y los cálculos de colinealidad se reducen a comprobar que un cociente es real.

Coordenadas baricéntricas: si el problema involucra ceviano-cónicas (incónica, circuncónica) o razones de segmentos sobre los lados del triángulo, las coordenadas baricéntricas son el marco natural. El incentro es $(a:b:c)$ , el circuncentro es $(\sin 2A : \sin 2B : \sin 2C)$ , el punto de Gergonne es $\left(\frac{1}{s-a}: \frac{1}{s-b}: \frac{1}{s-c}\right)$ . Las ecuaciones de las cónicas del triángulo tienen forma estándar.

Coordenadas cartesianas "ad hoc": para problemas que involucran una sola recta y puntos sobre ella (o una parábola, o un cuadrilátero específico), a veces el marco más rápido es colocar los puntos claves en posiciones simétricas: el punto medio en el origen, los dos extremos en $(-a, 0)$ y $(a, 0)$ .

Regla de oro: elige el marco que hace que las hipótesis sean las expresiones más simples posibles, aunque la conclusión sea un poco más complicada. Simplificar las hipótesis casi siempre compensa.

Jugada 4: reducir a un resultado conocido

La cuarta jugada es la más poderosa y la que distingue al estudiante de nivel olímpico: reconocer que el problema es una instancia de un resultado conocido.

El catálogo de resultados conocidos en geometría IMO incluye: Teorema de Simson (colinealidad de proyecciones), Teorema de Miquel (concurrencia de circuncírculos), Teorema de Ptolomeo (producto de diagonales), Teorema de la Potencia, Teorema de Pascal (hexágono en cónica), Teorema de Brianchon (hexágono circunscrito), Teorema de Desargues (perspectividad), Teorema de Ceva y Menelao, Teorema de los ángulos inscritos y la variante del ángulo en el centro, Inversión e Inversión de Möbius, y las propiedades del incentro, excentros, nueve puntos y punto de Feuerbach.

Cómo reconocer la instancia: mira la conclusión del problema. Si pide colinealidad, piensa en Simson, Menelao, o eje radical. Si pide concurrencia, piensa en Ceva, Miquel, o eje de perspectividad. Si pide igualdad de ángulos, piensa en ángulos inscritos o en una espiral de semejanza. Si pide una desigualdad con distancias, piensa en Ptolomeo.

El peligro de este enfoque: puede llevarte a forzar el problema en un molde que no encaja. Si después de cinco minutos de intentar aplicar "Miquel" no aparece naturalmente la cuarta recta, abandona esa vía y prueba con otra.

Resumen del catálogo. Las cuatro primeras jugadas son: (1) buscar puntos concíclicos ocultos, (2) identificar la transformación subyacente, (3) elegir el marco de coordenadas correcto, (4) reducir a un resultado conocido. En la práctica, estas cuatro jugadas se ejecutan en paralelo, no en secuencia, durante los primeros minutos de trabajo en el problema.

Problemas del Capítulo 6 — con solución

8 problemas verificados. Intenta cada uno antes de abrir la solución.

G3-6.1★★★★IMO 2008, Problema 1

Sea $H$ el ortocentro del triángulo acutángulo $\triangle ABC$ . Los circuncírculos de los triángulos $\triangle BHC$ , $\triangle CHA$ y $\triangle AHB$ tienen radios $R_A$ , $R_B$ y $R_C$ respectivamente. Demuestra que el área del triángulo $\triangle ABC$ es mayor o igual que $\frac{3\sqrt{3}}{4} \min(R_A^2, R_B^2, R_C^2)$ , y determina cuándo se da la igualdad.

G3-6.2★★★★IMO 2014, Problema 4

Sea $P$ y $Q$ los puntos de intersección de la circunferencia $\omega_1$ y la circunferencia $\omega_2$ . Sean $A$ y $B$ puntos en $\omega_1$ de modo que la recta tangente a $\omega_1$ en $A$ pasa por $Q$ y la recta tangente a $\omega_1$ en $B$ pasa por $Q$ . Sean $C$ y $D$ puntos en $\omega_2$ de modo que la recta tangente a $\omega_2$ en $C$ pasa por $P$ y la recta tangente a $\omega_2$ en $D$ pasa por $P$ . Suponiendo que $A$ , $B$ , $C$ , $D$ están en el mismo semiplano respecto de la recta $PQ$ , demuestra que $AB$ , $CD$ y $PQ$ son concurrentes (o paralelas).

G3-6.3★★★★IMO Shortlist 2016, G3

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con circuncírculo $\omega$ . Sea $P$ un punto en el interior del triángulo. Sean $D$ , $E$ , $F$ los segundos puntos de intersección de las rectas $AP$ , $BP$ , $CP$ con $\omega$ respectivamente. El punto $X$ se elige en el interior del segmento $EF$ . Sea $M$ la segunda intersección de la recta $XB$ con $\omega$ , y sea $N$ la segunda intersección de la recta $XC$ con $\omega$ . Demuestra que $A$ , $M$ , $D$ , $N$ son concíclicos.

G3-6.4★★★★IMO Shortlist 2017, G4

Sea $O$ el circuncentro del triángulo acutángulo $\triangle ABC$ . Sea $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $B$ , $C$ y $O$ . Las rectas $AB$ y $AC$ cortan a $\Gamma$ en los puntos $D$ y $E$ respectivamente (distintos de $B$ y $C$ ). Sea $F$ el punto de intersección de las tangentes a $\Gamma$ en $D$ y en $E$ . Demuestra que $OF \perp AF$ .

G3-6.5★★★★★IMO 2015, Problema 3

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB > AC$ . Sea $\Gamma$ su circuncírculo, $H$ su ortocentro y $F$ el pie de la altitud desde $A$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $AH$ respectivamente. La recta $AM$ corta a $\Gamma$ en un segundo punto $K$ diferente de $A$ . Supón que $\angle EKF = 90°$ donde $E$ es el punto de intersección de $\Gamma$ con la mediatriz de $AC$ . Demuestra que $B$ , $N$ , $K$ son colineales.

G3-6.6★★★★★IMO Shortlist 2019, G6

Sea $I$ el incentro del triángulo $\triangle ABC$ con $AB \neq AC$ . La circunferencia $\omega_I$ inscrita en $\triangle ABC$ es tangente a $BC$ , $CA$ , $AB$ en $D$ , $E$ , $F$ respectivamente. Sea $P$ la intersección de $AD$ con $\omega_I$ (distinta de $D$ ). El circuncírculo de $\triangle APF$ corta al lado $AB$ en el punto $Q \neq A$ . Demuestra que $CI$ , $BQ$ y $DP$ son concurrentes.

G3-6.7★★★★★IMO Shortlist 2020, G7

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y circuncírculo $\Gamma$ . Sea $M$ el punto medio del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene $A$ . Sea $T$ la proyección de $M$ sobre la tangente a $\Gamma$ en $A$ . Sea $K$ la intersección de la recta $MT$ con la recta $BC$ . Demuestra que $K$ es el punto medio de la cuerda que el incírculo de $\triangle ABC$ corta en la recta $BC$ .

G3-6.8★★★★★IMO 2022, Problema 3

Sea $ABCDE$ un convexo pentágono tal que $BC = DE$ . Supon que hay un punto $T$ en el interior del pentágono tal que $TB = TD$ , $TC = TE$ y $\angle ABT = \angle CDT$ . Sea $\ell$ la recta que pasa por los puntos medios de los segmentos $AC$ y $BE$ . Demuestra que $\angle ABT = \angle CDT$ implica que $A$ , $T$ , $D$ son colineales, y que la recta $\ell$ divide el pentágono en dos regiones de igual área.

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