Cómo escribir una solución olímpica de TN

Los estándares de una solución olímpica

En una competencia olímpica, la solución se evalúa no solo por la corrección del resultado sino por la claridad, completitud y rigor de la argumentación. Una solución correcta pero mal presentada puede perder puntos.

Los estándares generales: (1) Claridad: cada paso debe ser comprensible para un lector que no conoce tu proceso mental. (2) Completitud: todos los casos deben estar cubiertos; si hay casos especiales ($n = 0$, $n = 1$, etc.), deben tratarse explícitamente. (3) Rigor: las equivalencias deben ser verdaderas equivalencias; los "así que" y "luego" deben ser consecuencias lógicas directas.

En teoría de números, los errores de presentación más comunes son: omitir casos de paridad, afirmar divisibilidades sin demostrarlas, usar el lenguaje "es claro que" para pasos no triviales, y no especificar el módulo en un argumento modular.

Estructura general de una solución de TN

1. Enunciado de la respuesta (si aplica). Cuando el problema pide "encontrar todos los $n$", comienza estableciendo cuáles son: "Afirmamos que las únicas soluciones son $n = \ldots$". Luego la solución prueba dos cosas: que estas son soluciones (verificación directa) y que no hay otras (unicidad).

2. Reducción o setup. Si hay que simplificar la ecuación o el enunciado antes de atacarlo, hazlo explícitamente: "Sin pérdida de generalidad, podemos asumir $\gcd(x,y) = 1$, pues si $d = \gcd(x,y)$, dividiendo por $d^k$...". Esta reducción debe ser rigurosa.

3. Argumento principal. Presenta el argumento central de forma lineal. Si usas módulos, especifica el módulo. Si usas valuaciones, define $v_p$ brevemente si no es estándar. Si es inducción, define el caso base y el paso inductivo claramente.

4. Conclusión. Cierra el argumento con una frase explícita: "Por lo tanto, las únicas soluciones son...", o "Esto contradice nuestra hipótesis, luego no existen soluciones enteras".

Presentación de argumentos modulares

Los argumentos modulares son el corazón de muchas soluciones de TN. La presentación estándar es:

"Tomamos la ecuación módulo $m$: [ecuación original] $\implies$ [ecuación reducida módulo $m$]."

"Los cuadrados módulo 4 son $0$ y $1$. El lado izquierdo $\equiv \ldots \pmod{4}$ mientras el lado derecho $\equiv \ldots \pmod 4$. Como $\ldots \ne \ldots$, no hay soluciones."

Reglas de presentación: (a) Especifica siempre el módulo. (b) Verifica explícitamente todos los casos de las variables módulo $m$ cuando el módulo es pequeño ($m \le 9$). (c) Si hay múltiples variables, tabula todos los pares (o usa simetría para reducir casos). (d) Distingue "si $x \equiv a \pmod m$" de "si $m \mid x$".

Presentación de argumentos de divisibilidad y factorización

Cuando el argumento central es "si $d \mid A$ y $d \mid B$, entonces $d \mid \gcd(A,B)$", o una factorización tipo $AB = C$ con $\gcd(A,B) = 1$, la presentación debe:

(1) Establecer el gcd. "Como $\gcd(a,b) = 1$ (demostrado porque...)", o "Sea $d = \gcd(A, B)$; entonces...".

(2) Aplicar el TFA. "Como $AB = C$, $\gcd(A,B) = 1$, y $C = p_1^{a_1}\cdots$, por el TFA cada factor primo de $C$ divide a $A$ o a $B$ pero no a ambos...".

(3) Concluir la forma de los factores. "Por tanto $A$ y $B$ son ambos cuadrados perfectos (o potencias de $p$, etc.)".

Este patrón — $\gcd = 1$, producto es un cuadrado, luego cada factor es cuadrado — es uno de los más usados en olimpiadas y debe presentarse con todos sus pasos.

Presentación de inducción y descenso

Para argumentos por inducción: (a) Especifica el predicado $P(n)$. (b) Verifica el caso base (¡no lo olvides!). (c) En el paso inductivo, enuncia explícitamente la hipótesis de inducción antes de usarla.

Para el descenso infinito: (a) Supone que existe una solución y sea $(x_0, y_0, z_0)$ la solución con [parámetro] mínimo. (b) Construye explícitamente una nueva solución $(x_1, y_1, z_1)$ a partir de la primera. (c) Demuestra que el parámetro decreció: "[parámetro de $(x_1,y_1,z_1)$] $<$ [parámetro de $(x_0,y_0,z_0)$]". (d) Concluye la contradicción con la minimalidad.

Un error frecuente en descenso: no demostrar que la nueva solución es efectivamente una solución (es fácil construir algo que parece más pequeño pero no satisface la ecuación original).

Errores comunes y cómo evitarlos

**Error 1: "Sin pérdida de generalidad, $a \ge b$"** cuando el problema no es simétrico en $a$ y $b$. SPGG solo se puede invocar cuando hay una simetría real del problema.

Error 2: Asumir coprimalidad sin demostrarla. Si dices "$\gcd(x, y) = 1$", debes justificarlo a partir de las hipótesis del problema.

Error 3: División por un entero que podría ser cero. Si divides la ecuación por $x-1$ o por $a$, debes tratar el caso $x = 1$ o $a = 0$ por separado.

Error 4: Ciclos de implicaciones. "Como $A$, entonces $B$; y como $B$, entonces $A$" demuestra que $A \iff B$, pero no demuestra $A$ ni $B$. Necesitas un punto de partida externo.

Error 5: Casos incompletos. Al analizar módulo 4, hay exactamente 4 casos: $n \equiv 0, 1, 2, 3 \pmod 4$. Tratar solo los casos par/impar puede no ser suficiente.