Pitagóricas y ternas primitivas

La ecuación $x^2 + y^2 = z^2$

Una terna pitagórica es una tripla $(x, y, z)$ de enteros positivos que satisface $x^2 + y^2 = z^2$. Los ejemplos más conocidos son $(3,4,5)$, $(5,12,13)$ y $(8,15,17)$. Estas ternas corresponden exactamente a los lados de triángulos rectángulos con longitudes enteras.

Una terna pitagórica $(x, y, z)$ es primitiva si $\gcd(x, y, z) = 1$. En ese caso, necesariamente $\gcd(x,y) = \gcd(y,z) = \gcd(x,z) = 1$ (cualquier factor común a dos de los tres dividiría al tercero), y exactamente uno de $x, y$ es par.

Toda terna pitagórica $(x, y, z)$ es de la forma $x = da'$, $y = db'$, $z = dc'$ donde $(a', b', c')$ es una terna primitiva y $d = \gcd(x,y,z)$. Por lo tanto, clasificar todas las ternas se reduce a clasificar las primitivas.

Por qué exactamente uno es par en una terna primitiva

En una terna primitiva $(x, y, z)$: (1) no pueden ser los tres pares (violaría $\gcd = 1$); (2) no pueden ser los tres impares: si $x, y$ son impares, $x^2 + y^2 \equiv 1 + 1 = 2 \pmod{4}$, pero $z^2 \equiv 0$ o $1 \pmod 4$; $z^2 = 2$ es imposible; (3) $z$ no puede ser par: si $z$ par y $x, y$ impares, $x^2 + y^2 \equiv 2 \pmod 4$ pero $z^2 \equiv 0 \pmod 4$, contradicción.

La única posibilidad consistente es: $z$ impar y exactamente uno de $x, y$ par. Convengamos que $x$ es par, $y$ e $z$ son impares.

Esta paridad modular es el primer argumento típico en problemas de ternas pitagóricas: antes de cualquier factorización, determinar la paridad.

La parametrización completa

Sabiendo que $x$ es par, escribimos $x = 2k$ y reordenamos $z^2 - y^2 = x^2 = 4k^2$: $(z-y)(z+y) = 4k^2$. Como $y, z$ son impares, $z - y$ y $z + y$ son ambos pares. Escribimos $z - y = 2u$, $z + y = 2v$ con $v > u > 0$. Entonces $4uv = 4k^2$, es decir $uv = k^2$.

La clave: $\gcd(u, v) = 1$. Pues $\gcd(z-y, z+y) = \gcd(2u, 2v)$ divide a $\gcd(2z, 2y) = 2$ (ya que $\gcd(y,z)=1$), así $\gcd(u,v) = 1$. Como $uv = k^2$ con $\gcd(u,v)=1$, tanto $u$ como $v$ son cuadrados perfectos: $u = s^2$, $v = t^2$ con $t > s > 0$ y $\gcd(s,t) = 1$.

Recuperando: $y = v - u = t^2 - s^2$, $z = v + u = t^2 + s^2$, $x = 2k = 2st$.

Teorema (Clasificación de ternas pitagóricas primitivas). La terna $(x, y, z)$ es pitagórica primitiva con $x$ par si y solo si existen enteros $t > s > 0$ con $\gcd(s,t) = 1$ y $s \not\equiv t \pmod 2$ (distinta paridad) tales que $x = 2st$, $y = t^2 - s^2$, $z = t^2 + s^2$.

Verificación y ejemplos

Verificamos con $s=1, t=2$: $\gcd(1,2)=1$, paridades distintas. Obtenemos $x = 4$, $y = 3$, $z = 5$. Terna $(3,4,5)$. Con $s=1, t=4$: $x = 8$, $y = 15$, $z = 17$. Terna $(8,15,17)$. Con $s=2, t=3$: $x = 12$, $y = 5$, $z = 13$. Terna $(5,12,13)$.

Nótese que si $s$ y $t$ tuvieran la misma paridad, $x = 2st$ sería divisible por 4 y $y, z$ serían ambos pares, violando la primitividad. Si $\gcd(s,t) = d > 1$, entonces $d^2 \mid \gcd(y,z)$, violando también la primitividad. Las dos condiciones son necesarias.

Toda terna pitagórica es de la forma $x = 2dts$, $y = d(t^2-s^2)$, $z = d(t^2+s^2)$ para algún entero positivo $d$ y alguna terna primitiva $(s,t)$.

Aplicación: primos que son hipotenusa

Proposición. Un primo $p$ es la hipotenusa de una terna pitagórica primitiva si y solo si $p \equiv 1 \pmod{4}$.

Demostración. Si $p = t^2 + s^2$ para alguna terna primitiva, entonces $p = z$. Como $p$ es primo, $p > 2$ y $p$ es impar. Del teorema de los dos cuadrados (que ya conocemos del capítulo de residuos cuadráticos: $p$ es suma de dos cuadrados iff $p = 2$ o $p \equiv 1 \pmod 4$), $p \equiv 1 \pmod 4$. Recíprocamente, si $p \equiv 1 \pmod 4$, existe $x$ con $x^2 \equiv -1 \pmod p$, y el algoritmo de reducción de retículos de Minkowski produce la representación $p = a^2 + b^2$. La terna $(2ab, a^2-b^2, p)$ es pitagórica primitiva con $z = p$.

Este resultado conecta la geometría entera (ternas pitagóricas) con la aritmética modular (residuos cuadráticos módulo 4), ilustrando la unidad de la teoría de números.

Otras propiedades y problemas olímpicos

Producto de catetos. En la terna primitiva $(2st, t^2-s^2, t^2+s^2)$, el producto de catetos es $2st(t^2-s^2) = 2st(t-s)(t+s)$. Exactamente uno de $s, t, t-s, t+s$ es divisible por 2 (ya están en distintas paridades) y el análisis módulo 3 muestra que exactamente uno es divisible por 3. Concluimos que $60 \mid xy$ para toda terna pitagórica primitiva.

Área de ternas. El área del triángulo rectángulo con catetos $x, y$ es $\frac{xy}{2} = st(t^2-s^2) = st(t-s)(t+s)$. Un resultado olímpico: el área de una terna pitagórica nunca es un cuadrado perfecto (esto es el Teorema de Fermat sobre el caso $n=4$ del Último Teorema de Fermat, demostrado por él mismo usando el descenso infinito que veremos en la Lección 6.4).

Ternas con un cateto fijo. Para cada entero par positivo $x = 2m$, el número de ternas pitagóricas primitivas con cateto $x$ es igual al número de descomposiciones $m = st$ con $t > s$, $\gcd(s,t)=1$ y $s \not\equiv t \pmod 2$.