Ecuación de Pell

La ecuación y su historia

La ecuación de Pell es $x^2 - Dy^2 = 1$, donde $D$ es un entero positivo que no es cuadrado perfecto, y se buscan soluciones enteras positivas $(x, y)$. A pesar de llevar el nombre de John Pell (matemático del siglo XVII que casi no contribuyó a su estudio), fue estudiada extensamente por Brahmagupta en el siglo VII y por Fermat y Euler.

El caso $D$ cuadrado perfecto es trivial: $x^2 - k^2 y^2 = (x-ky)(x+ky) = 1$ solo tiene $(x,y) = (\pm 1, 0)$. Para $D$ no cuadrado, la ecuación siempre tiene infinitas soluciones enteras positivas — este resultado no es obvio y su demostración completa requiere la teoría de fracciones continuas.

Ejemplos: $D = 2$: $(x,y) = (3,2)$ es una solución ($9 - 2 \cdot 4 = 1$). $D = 3$: $(x,y) = (2,1)$ ($4 - 3 = 1$). $D = 5$: $(x,y) = (9,4)$ ($81 - 5 \cdot 16 = 1$). $D = 61$: la solución fundamental tiene $y = 226153980$, lo que ilustra que las soluciones pueden ser sorprendentemente grandes.

Fracciones continuas y la solución fundamental

La herramienta principal para resolver la ecuación de Pell es la fracción continua de $\sqrt{D}$. Se sabe que $\sqrt{D}$ tiene una expansión en fracción continua periódica: $\sqrt{D} = [a_0; \overline{a_1, a_2, \ldots, a_r}]$ donde $a_0 = \lfloor \sqrt{D} \rfloor$ y el bloque $a_1, \ldots, a_r$ se repite.

Los convergentes $p_k/q_k$ de esta fracción continua son fracciones que aproximan $\sqrt{D}$ cada vez mejor. Satisfacen $p_k^2 - D q_k^2 = (-1)^{k+1} \cdot e_k$ para ciertos valores pequeños $e_k$. El resultado fundamental es:

Teorema. La solución fundamental $(x_1, y_1)$ de $x^2 - Dy^2 = 1$ es el convergente $p_{r-1}/q_{r-1}$, donde $r$ es el período de la fracción continua de $\sqrt{D}$. Si $r$ es par, $(x_1, y_1) = (p_{r-1}, q_{r-1})$. Si $r$ es impar, $(x_1, y_1) = (p_{2r-1}, q_{2r-1})$.

Estructura del conjunto de soluciones

Una vez encontrada la solución fundamental $(x_1, y_1)$, todas las demás soluciones enteras positivas se obtienen mediante la recurrencia. Si definimos $\varepsilon_1 = x_1 + y_1 \sqrt{D}$ (la "solución fundamental" como número real), entonces la $n$-ésima solución corresponde a $\varepsilon_1^n = x_n + y_n \sqrt{D}$.

Explícitamente, la recurrencia es:

Demostración: $(x_n + y_n\sqrt{D})(x_1 + y_1\sqrt{D}) = (x_n x_1 + y_n y_1 D) + (x_n y_1 + y_n x_1)\sqrt{D}$. Si $(x_n, y_n)$ y $(x_1, y_1)$ son soluciones de Pell, su producto $(x_n x_1 + D y_n y_1, x_n y_1 + x_1 y_n)$ también lo es: $(x_n x_1 + Dy_n y_1)^2 - D(x_n y_1 + x_1 y_n)^2 = (x_n^2 - Dy_n^2)(x_1^2 - Dy_1^2) = 1 \cdot 1 = 1$.

Teorema de estructura. El conjunto de todas las soluciones positivas de $x^2 - Dy^2 = 1$ es exactamente $\{(x_n, y_n) : n \ge 1\}$ donde la secuencia se genera por la recurrencia anterior, y no hay otras soluciones positivas.

Ejemplo completo: $x^2 - 2y^2 = 1$

La fracción continua de $\sqrt{2} = [1; \overline{2}]$ tiene período $r = 1$. Como $r$ es impar, tomamos el segundo convergente: $[1; 2] = 3/2$, dando $(x_1, y_1) = (3, 2)$. Verificamos: $9 - 2 \cdot 4 = 1$. Correcto.

La recurrencia con $x_1 = 3$, $y_1 = 2$: $x_{n+1} = 3x_n + 2 \cdot 2 y_n = 3x_n + 4y_n$ y $y_{n+1} = 3y_n + 2x_n$.

Las primeras soluciones: $(x_1, y_1) = (3,2)$, $(x_2, y_2) = (17, 12)$ (pues $17^2 - 2 \cdot 144 = 289 - 288 = 1$), $(x_3, y_3) = (99, 70)$ ($9801 - 2 \cdot 4900 = 1$). La secuencia crece exponencialmente.

La ecuación generalizada $x^2 - Dy^2 = N$

Muchos problemas olímpicos involucran la ecuación $x^2 - Dy^2 = N$ para $N \ne 1$. Esta es más difícil: puede no tener soluciones, o tener un número finito de clases de soluciones, cada clase generada por recurrencia análoga a Pell.

Para $N = -1$: la ecuación $x^2 - Dy^2 = -1$ tiene solución si y solo si el período de la fracción continua de $\sqrt{D}$ es impar. La solución fundamental se lee en el convergente $p_{r-1}/q_{r-1}$, y las soluciones de $x^2 - Dy^2 = 1$ se obtienen tomando el cuadrado de la solución de $N = -1$.

Ejemplo olímpico. Demostrar que $x^2 - 3y^2 = 1$ tiene infinitas soluciones. La solución fundamental es $(2, 1)$: $4 - 3 = 1$. La recurrencia da $x_{n+1} = 2x_n + 3y_n$, $y_{n+1} = x_n + 2y_n$. Las soluciones $(2,1), (7,4), (26,15), (97,56), \ldots$ son todas distintas e infinitas.

Aplicaciones en competencias

La ecuación de Pell aparece en olimpiadas cuando: (1) se pide hallar todos los enteros $n$ tales que alguna expresión es un cuadrado perfecto; (2) se buscan triángulos isósceles con lados enteros y área entera; (3) aparecen sucesiones de enteros que satisfacen relaciones de recurrencia cuadráticas.

Problema (Cono Sur, estilo). Demuestra que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $n^2 + (n+1)^2$ es un cuadrado perfecto.

Solución. La condición $n^2 + (n+1)^2 = m^2$ se reescribe como $2n^2 + 2n + 1 = m^2$. Completando: $(2n+1)^2 + 1 = 2m^2$, es decir $m^2 - 2 \cdot \left(\frac{2n+1+1}{2}\right)^2$... más directamente: con $a = 2n+1$, $a^2 + 1 = 2m^2$, o sea $2m^2 - a^2 = 1$. Esto es la ecuación de Pell $x^2 - 2y^2 = -1$ con $x = m$, $y = a$ (rearreglando). La solución fundamental de $x^2 - 2y^2 = -1$ es $(x,y) = (1,1)$. La recurrencia genera infinitas soluciones $(x_n, y_n)$, cada una dando $n = (y_n - 1)/2$ (cuando $y_n$ es impar), produciendo infinitos valores de $n$.