Lección 8.1: Lema de Gauss para polinomios — Espinoza Olimpiadas

Contenido de un polinomio y polinomios primitivos

Dado un polinomio $f = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$ con coeficientes enteros, su contenido es $c(f) = \gcd(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0)$ , el máximo común divisor de sus coeficientes.

Un polinomio $f \in \mathbb{Z}[x]$ es primitivo si $c(f) = 1$ , es decir, si el máximo común divisor de sus coeficientes es 1. Por ejemplo, $f = 6x^2 + 4x + 2$ tiene contenido 2 y no es primitivo, mientras que $g = 3x^2 + 2x + 1$ tiene contenido 1 y es primitivo.

Todo polinomio $f \in \mathbb{Z}[x]$ no nulo se puede escribir de forma única (salvo signo) como $f = c(f) \cdot f^*$ donde $f^*$ es primitivo. Esta descomposición facilita el estudio de la factorización.

Enunciado y demostración del Lema de Gauss

Lema de Gauss. Si $f, g \in \mathbb{Z}[x]$ son polinomios primitivos, entonces su producto $fg$ también es primitivo.

Demostración. Supongamos que $fg$ no es primitivo. Entonces existe un primo $p$ que divide a todos los coeficientes de $fg$ . Consideramos $f$ y $g$ módulo $p$ , es decir, como elementos de $\mathbb{F}_p[x] = (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[x]$ .

Como $f$ es primitivo, no todos sus coeficientes son divisibles por $p$ , así $\bar{f} \ne 0$ en $\mathbb{F}_p[x]$ . Análogamente $\bar{g} \ne 0$ . Pero $\overline{fg} = \bar{f}\,\bar{g} = 0$ en $\mathbb{F}_p[x]$ (ya que $p \mid$ todos los coeficientes de $fg$ ). Esto contradice que $\mathbb{F}_p[x]$ es un dominio de integridad (no tiene divisores de cero, porque $\mathbb{F}_p$ es un cuerpo). Contradicción.

f, g \text{ primitivos} \implies fg \text{ primitivo}

Consecuencias del Lema de Gauss

Corolario 1. $c(fg) = c(f) c(g)$ para todo $f, g \in \mathbb{Z}[x]$ no nulos. Demostración: $f = c(f) f^*$ , $g = c(g) g^*$ con $f^*, g^*$ primitivos. Entonces $fg = c(f)c(g) f^* g^*$ . Como $f^* g^*$ es primitivo por el Lema de Gauss, $c(fg) = c(f)c(g)$ .

Corolario 2 (Lema de Gauss en teoría de factorización). Sea $f \in \mathbb{Z}[x]$ primitivo. Entonces $f$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$ si y solo si es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ .

Demostración del Corolario 2: la implicación $\Rightarrow$ es trivial ( $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ ). Para $\Leftarrow$ : supongamos $f = gh$ con $g, h \in \mathbb{Q}[x]$ . Escribimos $g = (a/b)g^*$ y $h = (c/d)h^*$ con $g^*, h^*$ primitivos en $\mathbb{Z}[x]$ . Entonces $f = \frac{ac}{bd} g^* h^*$ . Como $f$ y $g^*h^*$ son primitivos, $c(f) = 1$ y $c(g^*h^*) = 1$ implican $\frac{ac}{bd} = \pm 1$ . Así $f = \pm g^* h^*$ en $\mathbb{Z}[x]$ y $f$ se factoriza en $\mathbb{Z}[x]$ . Contrapositivo: si $f$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ , es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$ .

f \in \mathbb{Z}[x] \text{ primitivo e irreducible en } \mathbb{Q}[x] \implies f \text{ irreducible en } \mathbb{Z}[x]

Factorización en $\mathbb{Z}[x]$ y en $\mathbb{Q}[x]$

El Lema de Gauss establece que $\mathbb{Z}[x]$ y $\mathbb{Q}[x]$ tienen esencialmente la misma teoría de factorización para polinomios primitivos. Más precisamente, $\mathbb{Z}[x]$ es un dominio de factorización única (DFU): todo polinomio no nulo en $\mathbb{Z}[x]$ se factoriza de manera única (salvo unidades y reordenamiento) como producto de un entero (el contenido) y polinomios primitivos irreducibles.

Para probar la irreducibilidad de un polinomio con coeficientes enteros, podemos trabajar sobre $\mathbb{Q}$ (o sobre $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ para algún primo $p$ , como veremos en la Lección 8.3) y "transferir" el resultado a $\mathbb{Z}[x]$ .

Ejemplo: $f = x^2 - 2$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ (no tiene raíces racionales: si $a/b$ fuera raíz con $\gcd(a,b)=1$ , entonces $a^2 = 2b^2$ , imposible). Como $f$ es primitivo, el Lema de Gauss implica que $f$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$ .

Extensión: el Lema de Gauss sobre DFUs

La misma demostración funciona para cualquier dominio de factorización única $R$ en lugar de $\mathbb{Z}$ : si $f, g \in R[x]$ son primitivos, $fg$ es primitivo. El papel de $\mathbb{F}_p$ lo juega el cuerpo de fracciones de $R/pR$ para cualquier irreducible $p \in R$ .

En particular, $\mathbb{Z}[x]$ es un DFU porque $\mathbb{Z}$ lo es y el Lema de Gauss permite extender la factorización. Más generalmente, $R[x]$ es un DFU siempre que $R$ lo sea. Esta es la demostración estándar del hecho.

Aplicación a olimpiadas. El Lema de Gauss se usa para demostrar que ciertos polinomios no se factorizan en $\mathbb{Z}[x]$ : si se puede demostrar la irreducibilidad sobre $\mathbb{Q}$ (por ejemplo, con criterios como el de Eisenstein, que veremos en la Lección 8.2), se concluye automáticamente la irreducibilidad sobre $\mathbb{Z}$ .

Raíces racionales y el Lema de Gauss

Teorema de la raíz racional. Si $f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$ tiene una raíz racional $p/q$ (con $\gcd(p,q)=1$ ), entonces $p \mid a_0$ y $q \mid a_n$ .

Demostración: $a_n (p/q)^n + \cdots + a_0 = 0$ implica $a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} q + \cdots + a_0 q^n = 0$ . Módulo $p$ : $a_0 q^n \equiv 0 \pmod p$ . Como $\gcd(p,q)=1$ , $\gcd(p,q^n)=1$ , así $p \mid a_0$ . Módulo $q$ : análogamente $q \mid a_n$ .

Este teorema es consecuencia del Lema de Gauss: si $p/q$ es raíz, $(qx - p) \mid f(x)$ en $\mathbb{Q}[x]$ ; por el Lema de Gauss, $(qx-p) \mid f(x)$ en $\mathbb{Z}[x]$ (salvo contenido), lo que fuerza $p \mid a_0$ y $q \mid a_n$ .

\frac{p}{q} \text{ raíz de } a_n x^n + \cdots + a_0,\; \gcd(p,q)=1 \implies p \mid a_0 \text{ y } q \mid a_n

Lema de Gauss para polinomios