Lección 8.2: Criterios de irreducibilidad — Espinoza Olimpiadas

El criterio de Eisenstein

Teorema (Eisenstein, 1850). Sea $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$ con $n \ge 1$ . Supongamos que existe un primo $p$ tal que: (1) $p \nmid a_n$ ; (2) $p \mid a_i$ para $0 \le i \le n-1$ ; (3) $p^2 \nmid a_0$ . Entonces $f$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ .

Demostración. Supongamos que $f = gh$ con $g, h \in \mathbb{Z}[x]$ de grados positivos (podemos asumir $f$ primitivo por el Lema de Gauss). Reducimos módulo $p$ : $\bar{f} = \bar{a}_n x^n$ en $\mathbb{F}_p[x]$ (pues $p$ divide todos los coeficientes excepto $a_n$ ). Entonces $\bar{g}\,\bar{h} = \bar{a}_n x^n$ en $\mathbb{F}_p[x]$ .

Como $\mathbb{F}_p[x]$ es un DFU, los únicos factores de $x^n$ son de la forma $x^k$ . Así $\bar{g} = b x^r$ y $\bar{h} = c x^s$ con $r + s = n$ . Luego $p$ divide el término constante de $g$ y el de $h$ . Pero entonces $p^2 \mid a_0 = g(0)h(0)$ , contradiciendo la hipótesis (3). Contradicción.

p \nmid a_n,\; p \mid a_0,\ldots,a_{n-1},\; p^2 \nmid a_0 \implies f \text{ irreducible sobre } \mathbb{Q}

Ejemplos de aplicación de Eisenstein

Ejemplo 1. $f(x) = x^n - p$ para cualquier primo $p$ y $n \ge 1$ . Tomando el mismo primo $p$ : $p \nmid 1$ (coeficiente líder), $p \mid -p$ (término constante), $p^2 \nmid -p$ . Eisenstein aplica: $x^n - p$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ .

Ejemplo 2. $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 2 = (x-1)^4 + 1$ . Tomamos $p = 2$ : coeficiente líder 1 (no divisible por 2), coeficientes $-4, 6, -4$ divisibles por 2, término constante 2 (divisible por 2 pero no por 4). Eisenstein con $p=2$ : irreducible.

Truco del cambio de variable. Eisenstein no aplica directamente a $f(x) = x^4 + 4$ . Pero si hacemos $f(x+1) = (x+1)^4 + 4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 5$ : ahora $p=5$ , $5 \nmid 1$ , $5 \mid 4,6,4$ ... no divide 4 y 6 a la vez. Intentemos $p=2$ : $2 \mid 4,6,4$ sí, $2 \nmid 5$ ... $5$ es el término constante, $2 \nmid 5$ . No aplica. Pero $x^4+4 = (x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$ , así que $f$ es reducible.

Polinomios ciclotómicos

El $n$ -ésimo polinomio ciclotómico es $\Phi_n(x) = \prod_{\substack{1 \le k \le n \\ \gcd(k,n)=1}} (x - e^{2\pi i k/n})$ . Tiene grado $\phi(n)$ y coeficientes enteros.

Teorema. $\Phi_n(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ para todo $n \ge 1$ .

Para $n = p$ primo: $\Phi_p(x) = x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1 = \frac{x^p - 1}{x - 1}$ . Aplicamos Eisenstein con el cambio $x \mapsto x+1$ : $\Phi_p(x+1) = \frac{(x+1)^p - 1}{x} = x^{p-1} + \binom{p}{1}x^{p-2} + \cdots + \binom{p}{p-1}$ . El coeficiente de $x^k$ es $\binom{p}{k+1}$ que es divisible por $p$ para $0 \le k \le p-2$ (pues $p \mid \binom{p}{j}$ para $1 \le j \le p-1$ ), el coeficiente líder es 1, y el término constante es $\binom{p}{1} = p$ (divisible por $p$ pero no $p^2$ ). Eisenstein con $p$ : $\Phi_p(x+1)$ es irreducible, luego $\Phi_p(x)$ también.

\Phi_p(x+1) = x^{p-1} + \binom{p}{1}x^{p-2} + \cdots + \binom{p}{p-1} \xrightarrow{\text{Eisenstein}} \text{irred.}

El criterio de reducción módulo $p$

Criterio. Sea $f \in \mathbb{Z}[x]$ primitivo con coeficiente líder no divisible por el primo $p$ . Si $\bar{f} \in \mathbb{F}_p[x]$ (la reducción módulo $p$ ) es irreducible, entonces $f$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$ .

Demostración. Si $f = gh$ en $\mathbb{Z}[x]$ con $\deg g, \deg h \ge 1$ , entonces $\bar{f} = \bar{g}\,\bar{h}$ en $\mathbb{F}_p[x]$ con $\deg \bar{g} = \deg g \ge 1$ y $\deg \bar{h} = \deg h \ge 1$ (ya que $p \nmid$ coeficiente líder de $f$ , y por tanto tampoco los de $g$ o $h$ ). Esto contradice la irreducibilidad de $\bar{f}$ .

Ejemplo. $f(x) = x^3 + x + 1$ : mod 2 da $\bar{f}(x) = x^3 + x + 1$ en $\mathbb{F}_2[x]$ . Los únicos elementos de $\mathbb{F}_2$ son 0 y 1: $\bar{f}(0) = 1 \ne 0$ , $\bar{f}(1) = 1+1+1 = 1 \ne 0$ . Así $\bar{f}$ no tiene raíces en $\mathbb{F}_2$ , y como es de grado 3, es irreducible en $\mathbb{F}_2[x]$ . Por el criterio, $f$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$ .

Combinación de criterios y casos difíciles

Algunos polinomios no son abordables directamente por ningún criterio: por ejemplo, $f(x) = x^4 + 1$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ pero su reducción módulo todo primo $p$ es reducible (pues $x^4 + 1 = (x^2 + ax + 1)(x^2 - ax + 1)$ en $\mathbb{F}_p$ para algún $a$ ).

En esos casos se puede usar la factorización explícita sobre $\mathbb{C}$ (o $\mathbb{R}$ ) para descartar factorizaciones en $\mathbb{Z}$ : si $f$ se factorizara sobre $\mathbb{Z}$ , los factores serían productos de raíces complejas conjugadas, y se verifica que ninguna combinación de raíces da coeficientes enteros.

Estrategia olímpica. Al enfrentarse a un polinomio en $\mathbb{Z}[x]$ : (1) Intentar Eisenstein directamente o con cambio de variable. (2) Si falla, probar reducción módulo pequeños primos $p = 2, 3, 5$ . (3) Si ninguno funciona, usar el teorema de la raíz racional para descartar factores lineales, y análisis de grado para factores cuadráticos.

Aplicación olímpica: ecuaciones diofánticas y polinomios

La irreducibilidad de polinomios tiene conexiones directas con la teoría de números olímpica. Por ejemplo, el número de soluciones de $f(x) \equiv 0 \pmod{p}$ está relacionado con la factorización de $f$ módulo $p$ : si $f$ es irreducible de grado $n$ en $\mathbb{F}_p[x]$ , entonces $f(x) \equiv 0 \pmod p$ tiene exactamente $0$ o $p$ soluciones en $\mathbb{F}_p$ (ninguna raíz, o todas).

Problema (estilo IbAm). Demuestra que para todo primo $p \ge 5$ , el polinomio $f(x) = x^4 - x^2 + 1$ tiene al menos una raíz módulo $p$ .

Solución. $f(x) = x^4 - x^2 + 1 = \Phi_{12}(x)$ , el 12-ésimo polinomio ciclotómico. Las raíces de $\Phi_{12}$ son las raíces primitivas duodécimas de la unidad. Por la teoría de cuerpos de descomposición, para $p \ge 5$ con $p \nmid 12$ , el polinomio $\Phi_{12}$ tiene una raíz módulo $p$ si y solo si $p \equiv 1 \pmod{12}$ . Para otros $p$ ... este ejemplo ilustra cómo la teoría de polinomios ciclotómicos conecta con la aritmética modular.

Criterios de irreducibilidad