Primeros movimientos: diagrama de decisión para TN olímpica

El protocolo de los 5 minutos

En un examen IMO, los primeros 5 minutos con un problema de TdN deben producir: (1) la familia identificada, (2) al menos una sustitución o reducción no trivial anotada, (3) un caso pequeño o ejemplo concreto calculado. Sin estos tres elementos, los minutos siguientes son frecuentemente improductivos.

Minuto 1 — Leer sin lápiz. Leer el enunciado completo sin escribir nada. El objetivo es comprender el cuantificador principal: ¿es un "demostrar que para todo $n$..." o un "hallar todos los $n$ tales que..."? La estructura del cuantificador determina si la estrategia es de demostración directa, de descent, o de búsqueda exhaustiva.

Minuto 2 — Identificar la familia. Aplicar el mapa de la Lección 6.1. Anotar la familia principal y, si se intuye, la familia secundaria.

Minuto 3 — Primer movimiento concreto. Para cada familia hay un primer movimiento estándar (detallado en las secciones siguientes). Ejecutarlo mecánicamente.

Minutos 4–5 — Casos pequeños. Probar los valores $n = 1, 2, 3$ o $a = b = 1$ o el primo $p = 2$. Los casos pequeños revelan patrones, generan conjeturas sobre la respuesta, y a veces dan la idea completa.

Primeros movimientos para divisibilidad y valuaciones (Familia 1)

Primer movimiento estándar: sea la condición "$n \mid f(n)$" para alguna función $f$. El protocolo es: (a) factorizar $n = p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}$; (b) para cada primo $p_i$, calcular $v_{p_i}(f(n))$ usando LTE si $f$ tiene la forma $A^n \pm B^n$; (c) demostrar que $v_{p_i}(f(n)) \ge a_i$ para cada $i$.

Si $f(n) = A^n - B^n$ con $\gcd(A, B) = 1$, el LTE da $v_p(A^n - B^n) = v_p(A - B) + v_p(n)$ para primos impares $p \mid A - B$. Esto convierte la condición de divisibilidad en una condición sobre $v_p(n)$, tratable por inducción o análisis directo.

Trampa frecuente: aplicar LTE sin verificar las hipótesis. LTE para $p$ impar requiere $p \mid A - B$, $p \nmid A$, $p \nmid B$. Si alguna de estas condiciones falla, el lema no aplica directamente y hay que separar en casos.

**Caso $p = 2$:** el LTE tiene una forma diferente: $v_2(A^n - B^n) = v_2(A - B) + v_2(A + B) + v_2(n) - 1$ (cuando $2 \mid A - B$). Esta fórmula requiere que $A, B$ sean ambos impares. Usarla sin verificar que $A, B$ son impares es el error más común en los problemas de divisibilidad.

Señal de que hay que cambiar de estrategia: si al calcular $v_p(f(n))$ el resultado depende de $n$ de una manera que no se puede controlar con LTE (por ejemplo, si $f(n)$ no tiene forma $A^n \pm B^n$), entonces la herramienta correcta no es LTE sino el análisis del orden multiplicativo de algún elemento módulo $p^k$.

Primeros movimientos para ecuaciones diofánticas (Familia 2)

Primer movimiento estándar: sea la ecuación $P(a, b) = k \cdot Q(a, b)$ (pedir que el cociente sea entero). El protocolo es: (a) fijar una variable (diga $b$) y ver la ecuación como cuadrática en $a$; (b) calcular el discriminante $\Delta$ en función de $b$ y $k$; (c) pedir que $\Delta$ sea un cuadrado perfecto.

Para ecuaciones del tipo $\frac{a^2 + b^2}{ab + c} = k$ (el prototipo del Vieta jumping), el primer movimiento es: suponer que $(a, b)$ es una solución con $a + b$ mínimo y $a \ge b > 0$; fijar $k$ y $b$, ver la ecuación como cuadrática en $a$: $a^2 - kb \cdot a + (b^2 - kc) = 0$; si $(a_0, b)$ es solución, la otra raíz $a_1 = kb - a_0$ también lo es; demostrar que $a_1 < a_0$ o $a_1 < b$ para obtener una solución más pequeña, contradiciendo la minimalidad.

Primer movimiento para ecuaciones con 3 o más variables: reducir a 2 variables fijando una. Probar paridad módulo 2 para determinar si todas las variables son pares, todas impares, o hay una combinación mixta. Luego módulo 4 si la información módulo 2 no es suficiente.

Cuándo usar descent vs. Vieta: usar descent cuando la ecuación tiene una noción natural de "tamaño" que decrece en cada paso (por ejemplo, $a + b$ o $\max(a, b)$). Usar Vieta cuando la ecuación es cuadrática en una variable y se quiere producir soluciones más pequeñas automáticamente a través de las relaciones de Vieta.

Primeros movimientos para recurrencias (Familia 3)

Primer movimiento estándar: sea $a_{n+1} = f(a_n, a_{n-1})$ una recurrencia lineal de segundo orden con coeficientes enteros. El protocolo es: (a) calcular los primeros 10–15 términos módulo el primo $p$ que aparece en la condición de divisibilidad; (b) verificar si la sucesión es eventualmente periódica módulo $p$ (siempre lo es para sucesiones lineales sobre $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$); (c) usar la periodicidad para demostrar la condición de divisibilidad.

Si la condición es "$p \mid a_n \iff p \mid n$" (divisores primitivos), la herramienta es el lema de Zsygmondy o, para recurrencias de Lucas, la teoría de rangos de aparición: el rango de aparición de $p$ en la sucesión de Lucas $(U_n)$ es el mínimo $\alpha(p)$ tal que $p \mid U_{\alpha(p)}$, y entonces $p \mid U_n \iff \alpha(p) \mid n$.

Para recurrencias no lineales: el primer movimiento es linealizar. Si $a_{n+1} = a_n^2 + c$, modular por pequeños primos fuerza la periodicidad y da información sobre los valores posibles.

Señal de que hay que cambiar de estrategia: si la sucesión módulo $p$ es eventualmente $0$ para todo $n$ mayor que algún umbral, es probable que la condición de divisibilidad sea vacuamente verdadera o trivialmente falsa, lo que sugiere un error de lectura del enunciado.

El diagrama de decisión: flujo de trabajo unificado

El siguiente flujo de trabajo unifica los primeros movimientos para los problemas IMO de TdN:

Nodo 1 — ¿Qué pide el problema? (A) demostrar que algo es divisible por algo → Familia 1; (B) hallar todas las soluciones de una ecuación → Familia 2; (C) analizar una sucesión → Familia 3; (D) hallar funciones → Familia 4; (E) propiedades de un conjunto → Familia 5; (F) orden/residuos cuadráticos → Familia 6.

**Nodo 2 — ¿Hay una expresión de la forma $A^n \pm B^n$?** Sí → LTE. No → intentar factorizar directamente o estudiar el orden.

Nodo 3 — ¿La ecuación es cuadrática en alguna variable? Sí → Vieta jumping. No → descent o congruencias.

Nodo 4 — ¿La sucesión tiene coeficientes enteros constantes? Sí → periodicidad módulo $p$. No → caso a caso.

Nodo 5 — ¿Ninguna de las anteriores funciona en 10 minutos? Buscar invariante, buscar pequeñez extrema (método del descenso infinito), o reformular el problema en términos de la valuación $p$-ádica del objeto principal.

Este diagrama no es un algoritmo garantizado sino un mapa de heurísticas. La habilidad olímpica es reconocer cuándo una heurística no está avanzando y saber dar el giro hacia la siguiente.

Señales de alarma: cuándo la estrategia no está funcionando

Hay señales claras de que la estrategia elegida no está produciendo progreso y conviene cambiarla:

Señal 1 — Demasiados casos. Si el análisis de casos se ramifica en más de 4–5 subcasos, es probable que falta una observación estructural que unifique. Buscar un invariante o una simetría.

Señal 2 — Cálculos que crecen. Si las expresiones algebraicas se están haciendo cada vez más largas sin simplificarse, es probable que hay una sustitución o cambio de variable que simplifica todo. Intentar $a = m + n$, $b = m - n$ (paralelogramo), $a = rs$, $b = rt$ (factorización común), o $a = \tan\theta$ (si hay suma de cuadrados).

Señal 3 — El caso base no funciona. Si el caso $n = 1$ o $p = 2$ ya falla, hay un error en la comprensión del enunciado. Releer.

Señal 4 — No se puede probar ni la desigualdad ni la igualdad. En problemas de divisibilidad, si no se puede ni demostrar $A \mid B$ ni demostrar $A \nmid B$ en algún caso pequeño, es probable que la respuesta depende de una condición de paridad o de congruencia que aún no se ha identificado.