Escritura de soluciones IMO: rigor, claridad y concisión

La estructura de una solución IMO de TdN

Una solución IMO de TdN bien escrita tiene cuatro partes, no necesariamente marcadas explícitamente pero reconocibles por el corrector:

Parte 1 — Respuesta o afirmación principal. Enunciar inmediatamente qué se va a probar o cuál es la respuesta. Si el problema pide hallar todos los $n$ con cierta propiedad, la primera oración de la solución debe ser: "La respuesta es $n \in \{1, 4, 7\}$" o "Afirmamos que los únicos $n$ son los de la forma $2^k$". Esto orienta al corrector.

Parte 2 — Reducción o estructura. Indicar el esquema de la demostración: "Lo demostraremos en dos partes: primero que todo número de la forma $2^k$ satisface la condición, luego que ningún otro número la satisface." Esta parte puede ser muy breve (1–2 oraciones) pero es esencial.

Parte 3 — Demostración. El cuerpo técnico. En TdN, la demostración suele seguir uno de estos esquemas: (a) inducción, (b) análisis de valuaciones $p$-ádicas, (c) reducción módulo un primo conveniente, (d) descent, (e) Vieta jumping. El esquema elegido debe ser explícito.

Parte 4 — Verificación (si aplica). Si el problema pide hallar todas las soluciones, verificar que cada una listada efectivamente satisface las condiciones. Si el problema es de existencia, la demostración constructiva ya contiene la verificación.

Rigor: cuantificadores y casos

El error más frecuente en soluciones de TdN es omitir un caso. La estructura lógica de la demostración debe cubrir exhaustivamente todos los escenarios posibles. Las técnicas son:

División por paridad. Si la condición depende de si $n$ es par o impar, tratar ambos casos explícitamente. No escribir "por simetría" a menos que la simetría sea evidente y correcta.

División por un primo. Si el argumento usa propiedades de $v_p(n)$ para un primo $p$ específico, dividir en $p \mid n$ y $p \nmid n$.

División por el signo de una expresión. Si se usa la desigualdad $a \ge b$, cubrir también $a < b$ (o justificar por simetría que el caso $a < b$ es análogo).

Ejemplo de rigor vs. imprecisión: Impreciso: "Como $p \mid a - b$, por LTE tenemos $v_p(a^n - b^n) = v_p(a-b) + v_p(n)$." Riguroso: "Como $p$ es primo impar, $p \mid a - b$, $p \nmid a$ (pues $p \nmid b$ y $p \mid a - b$ implica $p \nmid a \iff p \nmid b$), y $p \nmid b$ (por hipótesis), el Lema de Levantamiento del Exponente da $v_p(a^n - b^n) = v_p(a - b) + v_p(n)$."

El rigor no exige verbosidad: exige que cada paso tenga justificación y que ninguna hipótesis del lema aplicado quede sin verificar.

Claridad: lemas auxiliares y afirmaciones intermedias

Para soluciones largas o que requieren varios pasos no triviales, la claridad se logra extrayendo lemas o afirmaciones numerados. El formato estándar en IMO es:

Afirmación: [enunciar la propiedad que se va a demostrar].

Demostración de la afirmación: [demostración, terminando con $\square$ o similar].

Esto permite al corrector seguir la estructura lógica sin perderse. Un lema típico en un problema de TdN podría ser: "Afirmación: $p \mid n$ para todo primo $p \le \sqrt{n}$." Demostrar este lema es el corazón de la solución; luego, usando el lema, concluir es directo.

Nunca escribir más de 2–3 lemas en una solución IMO (la solución no es un paper). Si la solución requiere 5 lemas, o hay una simplificación que falta, o el problema es P6 y la complejidad es esperada.

Error frecuente: usar el lema antes de demostrarlo ("como demostraremos luego, se tiene que... por tanto..."). En matemáticas, un resultado solo puede usarse después de ser demostrado, salvo que sea una hipótesis o un resultado conocido citado.

Concisión: cuánto detalle incluir

La norma IMO es: incluir el detalle necesario para que un matemático competente pueda verificar la corrección sin esfuerzo adicional. No incluir todos los cálculos intermedios triviales (suma de fracciones, simplificaciones aritméticas) pero sí incluir los pasos no obvios.

Regla práctica 1 — Resultados conocidos: citar los teoremas por nombre sin demostraci\u00f3n. "Por el Teorema Chino del Resto...", "Por el Pequeño Teorema de Fermat...", "Por el LTE...". No hay que demostrar estos resultados en el examen.

Regla práctica 2 — Verificaciones aritméticas: si la verificación se reduce a aritmética elemental, escribir "una verificación directa muestra que..." o dar el cálculo sin comentario. Por ejemplo: "$v_3(2^6 - 1) = v_3(63) = v_3(9 \cdot 7) = 2$. ✓"

Regla práctica 3 — Casos análogos: si dos casos son verdaderamente análogos (por simetría del enunciado o de la demostración), escribir explícitamente que son análogos y demostrar solo uno. "El caso $a < b$ es completamente análogo al caso $a > b$ por la simetría de la ecuación en $a$ y $b$."

Regla práctica 4 — Longitud: una solución IMO de TdN tiene típicamente 1–3 páginas. Si la solución supera las 4 páginas, buscar una simplificación. Si tiene menos de media página para un problema P5, probablemente faltan justificaciones.

Los 5 errores de presentación más costosos en la puntuación IMO

Error 1 — Olvidar la comprobación. El problema pide "hallar todos los $n$..." La solución deriva que $n$ debe ser de cierta forma pero no verifica que esa forma funciona. Cuesta 1–2 puntos incluso si el resto es correcto.

Error 2 — Usar el resultado como hipótesis. En demostraciones por contradicción o descent, a veces se asume implícitamente lo que se quiere demostrar en una cadena circular. El corrector lo detecta y puede restar hasta 3 puntos.

Error 3 — Argumento de "el mínimo" sin demostrar la existencia del mínimo. En descent, se dice "sea $(a, b)$ la solución con $a + b$ mínimo". Hay que verificar que el conjunto de soluciones es no vacío y que el mínimo existe (en $\mathbb{Z}^+$, todo subconjunto no vacío tiene mínimo, así que basta verificar la no vacuidad).

Error 4 — Divisiones sin verificar que el divisor no es cero. En problemas de TdN, a veces se divide por $a - b$ sin verificar que $a \ne b$. Separar este caso explícitamente.

Error 5 — "Es obvio que..." Escribir "es obvio" o "claramente" para pasos que no son obvios. El corrector IMO no acepta argumentos de autoridad. Si algo es realmente obvio, o se demuestra en una línea o se omite sin decir que es obvio.

Modelo de solución bien escrita: análisis de estructura

Analicemos la estructura de la solución canónica del IMO 1988 P6 (el famoso problema de Vieta jumping). El enunciado pide demostrar que si $a, b \in \mathbb{Z}^+$ con $ab + 1 \mid a^2 + b^2$, entonces $\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$ es un cuadrado perfecto.

Estructura modelo:

1. "Sea $k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1} \in \mathbb{Z}^+$. Demostraremos que $k$ es un cuadrado perfecto." [Parte 1: afirmación.]

2. "Supongamos que existe $k$ que no es cuadrado perfecto. Entre todos los pares $(a, b) \in (\mathbb{Z}_{\ge 0})^2$ con $\frac{a^2 + b^2}{ab + 1} = k$, sea $(a_0, b_0)$ el par con $a_0 + b_0$ mínimo, con $a_0 \ge b_0 \ge 0$." [Parte 2: estructura — se elige el par mínimo, se establece la no vacuidad implícitamente.]

3. La ecuación $a^2 - k b_0 a + (b_0^2 - k) = 0$ tiene a $a_0$ como raíz. Por Vieta, la otra raíz es $a_1 = k b_0 - a_0 \in \mathbb{Z}$ con $a_0 a_1 = b_0^2 - k$. Se verifica que $a_1 \ge 0$ (pues $a_1 < 0$ daría $k = \frac{a_0^2 + b_0^2}{a_0 b_0 + 1} \le \frac{a_0^2 + b_0^2}{1} = a_0^2 + b_0^2$... el argumento usa la minimalidad) y $a_1 < a_0$. [Parte 3: Vieta jumping.]

4. Entonces $(a_1, b_0)$ es una solución con suma menor, contradiciendo la minimalidad. Por tanto no existe tal $k$, y todo $k$ que aparece es un cuadrado perfecto. $\square$ [Parte 4: no hay verificación adicional pues el problema es de demostración, no de hallar soluciones.]

Notar que esta estructura es limpia: 1 afirmación, 1 reducción por absurdo, 1 argumento de Vieta, 1 contradicción. Sin subcasos innecesarios, sin cálculos largos en el cuerpo de la solución (están implícitos en la verificación de que $a_1 \ge 0$ y $a_1 < a_0$, que es el núcleo técnico).