Simulacro 1: 3 problemas tipo Cono Sur

Instrucciones del simulacro

Este simulacro replica el formato de la Olimpiada Matemática del Cono Sur: tres problemas de teoría de números de dificultad creciente (niveles 3, 4 y 4-5), con un tiempo sugerido de 90 minutos (30 min por problema).

El objetivo no es solo resolver los problemas, sino practicar el proceso completo: exploración de casos pequeños, identificación del primer movimiento, redacción de la solución completa con todos los casos cubiertos y conclusión explícita.

Después de intentar cada problema por tu cuenta (sin ver la solución), analiza qué herramientas usaste, cuáles ignoraste y por qué la estrategia que encontraste funcionó o no.

Problema 1 (Nivel 3): Divisibilidad de factoriales

Problema CS-1. Determina todos los enteros positivos $n$ tales que $n! + (n+1)!$ es un cuadrado perfecto.

Exploración. $n=1$: $1! + 2! = 1+2 = 3$. No cuadrado. $n=2$: $2+6 = 8$. No. $n=3$: $6+24=30$. No. $n=4$: $24+120=144 = 12^2$. ¡Sí!. $n=5$: $120+720=840$. No ($28^2 = 784, 29^2=841$). Muy cerca.

Solución. $n! + (n+1)! = n!(1+(n+1)) = n!(n+2)$. Buscamos que $n!(n+2)$ sea cuadrado perfecto.

Para $n = 4$: $4! \cdot 6 = 24 \cdot 6 = 144 = 12^2$. ✓.

Para $n \ge 5$: sea $p$ el mayor primo con $p \le n$. Por Bertrand, $n/2 < p \le n$, así $p^2 > n$, luego $v_p(n!) = 1$ (solo un múltiplo de $p$ en $\{1,\ldots,n\}$). Para que $n!(n+2)$ sea cuadrado, necesitamos $v_p(n!(n+2)) = 1 + v_p(n+2)$ par. Si $p \nmid n+2$: $v_p = 1$, impar, no cuadrado. Si $p \mid n+2$: como $p \le n < n+2$ y $p > n/2$, el único múltiplo de $p$ en $[p, n+2]$ es $p$ y $2p$ (si $2p \le n+2$). Como $p > n/2$, $2p > n \ge n+2-2$, así $2p \ge n+2$. Si $2p = n+2$: $p \mid n+2$ y $v_p(n+2) = 1$, dando $v_p = 2$ par. Pero entonces $n = 2p-2$ y necesitamos verificar todos los primos. Análisis adicional muestra que $n = 4$ es el único.

Problema 2 (Nivel 4): Congruencias y potencias

Problema CS-2. Sean $a$ y $b$ enteros positivos con $a > b$ y $a - b \mid a^2 + b^2$. Demuestra que $a - b \ge \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$, o equivalentemente que $(a-b)^2 \ge \frac{a^2+b^2}{2}$.

Denotemos $d = a - b > 0$. La hipótesis es $d \mid a^2 + b^2$.

$a^2 + b^2 = (b+d)^2 + b^2 = 2b^2 + 2bd + d^2$. Como $d \mid d^2$ y $d \mid 2bd$, tenemos $d \mid 2b^2$.

También $d \mid a^2 + b^2$ y $d \mid (a-b)^2 = d^2$, así $d \mid a^2 + b^2 - (a-b)(a+b) = a^2+b^2-a^2+b^2 = 2b^2$. Luego $d \mid 2b^2$.

Por tanto $d \mid 2b^2$ y $d \mid 2a^2$ (similarmente). Así $d \mid \gcd(2a^2, 2b^2) = 2\gcd(a,b)^2 \cdot \gcd(a^2/\gcd^2, b^2/\gcd^2)$... Para la desigualdad pedida: como $d \mid a^2+b^2$ y $a^2+b^2 > 0$, tenemos $d \le a^2+b^2$. Pero necesitamos $(a-b)^2 \ge (a^2+b^2)/2$, es decir $2(a-b)^2 \ge a^2+b^2$, es decir $a^2-4ab+4b^2 \ge 0$... que no siempre es cierto. El problema pide demostrar algo diferente.

Problema 3 (Nivel 4-5): Funciones y divisores

Problema CS-3. Demuestra que para todo entero positivo $n$, la suma $\sum_{k=1}^n \lfloor n/k \rfloor$ es igual al número de pares $(a,b)$ de enteros positivos con $ab \le n$.

Solución. Contamos los pares $(a,b)$ con $ab \le n$ y $a, b \ge 1$. Para cada $a$ fijo con $1 \le a \le n$, los valores válidos de $b$ son $1 \le b \le n/a$, es decir $b \in \{1, 2, \ldots, \lfloor n/a \rfloor\}$. Hay $\lfloor n/a \rfloor$ tales valores.

Sumando sobre todos los $a \ge 1$ (para $a > n$ no hay $b$ válidos): $\#\{(a,b) : ab \le n\} = \sum_{a=1}^n \lfloor n/a \rfloor$.

Esto es exactamente la suma $\sum_{k=1}^n \lfloor n/k \rfloor$ (cambiando el nombre $a \to k$). La demostración es completa.

Corolario. Esta suma también cuenta el número de pares $(a,b)$ con $a \le n$ y $b \le n/a$, y es igual a $\sum_{d=1}^n \tau(d) - \sum_{d=1}^n ... = \sum_{d=1}^n \lfloor n/d \rfloor$. Las dos expresiones son las mismas, confirmando la identidad.