Capítulo 1
Rectas y Planos en el Espacio
Posiciones relativas de rectas y planos, paralelismo, perpendicularidad y el teorema de las tres perpendiculares
1.1 · Objetivos
La Geometría del Espacio (o Estereometría) estudia las propiedades y medidas de las figuras cuyos puntos no pertenecen todos a un mismo plano. Mientras la Geometría Plana vive en dos dimensiones, aquí trabajamos con la tercera dimensión: aparecen rectas que ni se cortan ni son paralelas, planos en el espacio y nuevas relaciones de perpendicularidad.
Al terminar este capítulo, el estudiante estará en capacidad de:
• Enunciar y aplicar los postulados que determinan un plano en el espacio.
• Clasificar las posiciones relativas entre dos rectas (secantes, paralelas y alabeadas), entre recta y plano, y entre dos planos.
• Aplicar el teorema de Thales espacial para planos paralelos cortados por transversales.
• Reconocer cuándo una recta es perpendicular a un plano y distinguirlo de ser perpendicular a una sola recta del plano.
• Enunciar, demostrar y aplicar el teorema de las tres perpendiculares, pieza central del capítulo.
• Calcular distancias (punto-plano, entre planos paralelos y la mínima entre rectas alabeadas) y el ángulo entre una recta y un plano mediante proyección ortogonal.
• Clasificar las posiciones relativas entre dos rectas (secantes, paralelas y alabeadas), entre recta y plano, y entre dos planos.
• Aplicar el teorema de Thales espacial para planos paralelos cortados por transversales.
• Reconocer cuándo una recta es perpendicular a un plano y distinguirlo de ser perpendicular a una sola recta del plano.
• Enunciar, demostrar y aplicar el teorema de las tres perpendiculares, pieza central del capítulo.
• Calcular distancias (punto-plano, entre planos paralelos y la mínima entre rectas alabeadas) y el ángulo entre una recta y un plano mediante proyección ortogonal.
Convención de figuras
En todas las figuras del espacio, las aristas o líneas ocultas se dibujan discontinuas (a trazos) y las visibles con línea llena. El ángulo recto se marca siempre con un cuadrito, nunca con un arco. Usaremos o para rectas y letras como , , para planos.
1.2 · Determinación de un Plano
Plano
Un plano es una superficie ilimitada en todas las direcciones, sin grosor, tal que la recta que une dos cualesquiera de sus puntos queda íntegramente contenida en él. Se denota con una letra mayúscula o caligráfica: , , .
Así como en el plano "dos puntos determinan una recta", en el espacio nos preguntamos: ¿qué condiciones determinan un plano único? La respuesta se apoya en los siguientes postulados.
Postulado 1.1 — Postulado del plano
Por tres puntos no colineales pasa uno y solo un plano.
Postulado 1.2 — Postulado de inclusión
Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, entonces toda la recta está contenida en ese plano.
Postulado 1.3 — Postulado de la intersección
Si dos planos distintos tienen un punto común, entonces tienen una recta de puntos comunes (su intersección es una recta).
A partir de estos postulados se deducen las cuatro maneras de determinar un plano. En cada caso decimos que el plano queda *determinado* porque existe y es único.
1. Por tres puntos no colineales (Postulado 1.1).
2. Por una recta y un punto exterior a ella.
3. Por dos rectas secantes (que se cortan en un punto).
4. Por dos rectas paralelas (distintas).
2. Por una recta y un punto exterior a ella.
3. Por dos rectas secantes (que se cortan en un punto).
4. Por dos rectas paralelas (distintas).
¿Por qué los casos 2, 3 y 4 funcionan? Todos se reducen al Postulado 1.1 hallando tres puntos no colineales:
• Recta y punto exterior : tomamos dos puntos y de la recta; como no pertenece a la recta, los puntos , , no son colineales.
• Dos rectas secantes en : elegimos , un punto de una recta y un punto de la otra; los tres no son colineales.
• Dos rectas paralelas: tomamos dos puntos de una de ellas y un punto de la otra; al ser rectas distintas, el tercer punto no cae en la primera.
• Dos rectas secantes en : elegimos , un punto de una recta y un punto de la otra; los tres no son colineales.
• Dos rectas paralelas: tomamos dos puntos de una de ellas y un punto de la otra; al ser rectas distintas, el tercer punto no cae en la primera.
¡Cuidado!
Tres puntos colineales NO determinan un plano: por una recta pasan *infinitos* planos. Igualmente, dos rectas alabeadas (que veremos enseguida) no determinan plano alguno, pues no son coplanares.
Ejemplo 1
¿Cuántos planos como máximo quedan determinados por 4 puntos en el espacio, si no hay tres de ellos colineales ni los cuatro coplanares?
Ejemplo 2
Se tienen puntos en el espacio, de modo que 4 de ellos son coplanares (y de esos 4, no hay 3 colineales) y los otros están fuera de dicho plano. Sin que existan otras coincidencias, ¿cuántos planos quedan determinados?
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