Capítulo 1
Programación Lineal
Sistemas de ecuaciones, inecuaciones, región factible y optimización
1.1 · ¿Por qué dominar este tema?
La programación lineal es el tema más "moderno" del currículo de quinto de secundaria. Mientras la trigonometría existe hace siglos, la programación lineal nació en el siglo XX para resolver un problema muy actual: ¿cómo aprovechar al máximo recursos limitados?
Cuando una empresa decide cuántos productos fabricar, cuando un agricultor decide qué cultivos sembrar, cuando una aerolínea decide cómo asignar sus aviones, todos están aplicando programación lineal. Por eso este tema aparece cada vez más en exámenes de admisión, especialmente en carreras de Ingeniería Industrial, Economía, Administración, Ingeniería de Sistemas y Estadística.
Nivel y frecuencia
Dificultad: Intermedio (⭐⭐⭐).
Frecuencia en admisiones: Alta en universidades particulares y carreras de gestión.
Frecuencia en admisiones: Alta en universidades particulares y carreras de gestión.
1.2 · Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas tiene la forma:
Existen tres métodos clásicos para resolverlo:
- ▶Sustitución: Despejas una variable en una ecuación y la reemplazas en la otra.
- ▶Igualación: Despejas la misma variable en ambas ecuaciones y las igualas.
- ▶Reducción (sumas o restas): Multiplicas las ecuaciones por factores apropiados para eliminar una variable al sumar.
Tip de examen
En admisión, el método más rápido casi siempre es reducción. Si los coeficientes son pequeños, sustitución funciona bien. Igualación rara vez es la opción más eficiente.
Interpretación geométrica: Cada ecuación lineal representa una recta en el plano. Lo que ocurra entre las dos rectas determina las soluciones:
- ▶Las rectas se cortan en un solo punto → Solución única (sistema compatible determinado).
- ▶Las rectas son la misma (coincidentes) → Infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado).
- ▶Las rectas son paralelas distintas → Sin solución (sistema incompatible).
⚠️ Error común
Muchos estudiantes piensan que si "no obtienen un número claro" el sistema no tiene solución. Falso. Si llegas a , hay infinitas soluciones. Si llegas a (o cualquier número distinto de cero), no hay solución.
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