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Mecánica de Materiales — Capítulo 1

Por Ediciones Espinoza · 12 capítulos · 400 ejercicios resueltos

Esta es la versión oficial y autorizada por el autor. Lee el Capítulo 1 completo y decide con confianza.

Capítulo 1

Esfuerzo y deformación unitaria

Tracción, compresión y cortante directo

1.1 · Esfuerzo normal y deformación unitaria

La mecánica de materiales estudia cómo se comportan los sólidos deformables cuando se les aplican cargas: qué tan grandes son las fuerzas internas que aparecen, cuánto se deforman las piezas y bajo qué condiciones fallan. Es el puente entre la estática (que trata cuerpos rígidos en equilibrio) y el diseño de elementos estructurales y de máquinas reales.
El concepto central de todo el curso es el esfuerzo: una medida de la intensidad de la fuerza interna por unidad de área. Empezamos por el caso más simple —una barra cargada axialmente— donde el esfuerzo es normal (perpendicular a la sección transversal).

Esfuerzo normal (σ\sigma)

Considera una barra recta sometida a dos fuerzas iguales y opuestas PP a lo largo de su eje. Si cortamos la barra con un plano perpendicular al eje, la fuerza interna que mantiene el equilibrio se distribuye sobre el área AA de la sección. Cuando esa distribución es uniforme, el esfuerzo normal es simplemente:
σ=PA\sigma = \dfrac{P}{A}
Convención de signos
El esfuerzo es de tracción (σ>0\sigma>0) cuando las fuerzas tienden a alargar la barra, y de compresión (σ<0\sigma<0) cuando tienden a acortarla.
Unidades
En el SI, el esfuerzo se mide en pascales: 1 Pa=1 N/m21\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2. Como el pascal es diminuto, en la práctica se usa el megapascal: 1 MPa=106 Pa=1 N/mm21\ \text{MPa} = 10^{6}\ \text{Pa} = 1\ \text{N/mm}^2. En el sistema inglés se usa el psi (lb/in2\text{lb/in}^2) y el ksi (1 ksi=1000 psi1\ \text{ksi}=1000\ \text{psi}).

Deformación unitaria normal (ε\varepsilon)

Una barra de longitud inicial LL que se alarga una cantidad δ\delta bajo la carga experimenta una deformación unitaria (adimensional):
\ arepsilon=δL\ arepsilon = \dfrac{\delta}{L}
Mientras el material trabaje en su rango elástico lineal, esfuerzo y deformación unitaria se relacionan por la ley de Hooke, σ=E ε\sigma = E\,\varepsilon, donde EE es el módulo de elasticidad del material (lo estudiaremos a fondo en §1.4).

Ejemplo 1.1 — Poste escalonado en compresión

Un poste macizo de sección circular ABCABC soporta una carga P1=2500 lbP_1 = 2500\ \text{lb} aplicada en su punta AA. Una segunda carga P2P_2 está distribuida uniformemente alrededor del escalón BB. Los diámetros de las partes superior e inferior son dAB=1.25 ind_{AB}=1.25\ \text{in} y dBC=2.25 ind_{BC}=2.25\ \text{in}. (a) Calcula el esfuerzo normal σAB\sigma_{AB} en la parte superior. (b) ¿Qué valor de P2P_2 haría que la parte inferior tuviera el mismo esfuerzo de compresión que la superior?
P₁ P₂ A B C dAB dBC
Figura 1.1 — Poste escalonado: P₁ en la punta y P₂ repartida en el escalón B.
(a) La parte superior solo soporta P1P_1. Su área es:
AAB=π4 dAB2=π4(1.25)2=1.227  extin2A_{AB}=\dfrac{\pi}{4}\,d_{AB}^{2}=\dfrac{\pi}{4}(1.25)^{2}=1.227\ \ ext{in}^{2}
σAB=P1AAB=25001.227≈2040 psi (compresioˊn)\sigma_{AB}=\dfrac{P_1}{A_{AB}}=\dfrac{2500}{1.227}\approx 2040\ \text{psi (compresión)}
(b) La parte inferior soporta P1+P2P_1+P_2 sobre el área ABCA_{BC}. Imponemos σBC=σAB\sigma_{BC}=\sigma_{AB}:
σAB=P1+P2ABC=P1+P2 fracπ4dBC2\sigma_{AB}=\dfrac{P_1+P_2}{A_{BC}}=\dfrac{P_1+P_2}{\ frac{\pi}{4}d_{BC}^{2}}
Despejando y usando σAB=P1/(π4dAB2)\sigma_{AB}=P_1/(\tfrac{\pi}{4}d_{AB}^2), los términos π4\tfrac{\pi}{4} se cancelan y queda una relación limpia que solo depende de los diámetros:
P2=P1[(dBCdAB)2−1]=2500[(1.8)2−1]=2500(2.24)P_2 = P_1\left[\left(\dfrac{d_{BC}}{d_{AB}}\right)^{2}-1\right]=2500\left[(1.8)^{2}-1\right]=2500(2.24)
Respuesta
(a) σAB≈2040 psi\sigma_{AB}\approx 2040\ \text{psi} · (b) P2≈5600 lbP_2 \approx 5600\ \text{lb}.

Ejemplo 1.2 — Varilla colgante considerando su propio peso

Una varilla de acero de L=110 ftL=110\ \text{ft} cuelga del techo de una torre y sostiene un peso P=200 lbP=200\ \text{lb} en su extremo inferior. El diámetro es d=14 ind=\tfrac14\ \text{in} y el peso específico del acero es γ=490 lb/ft3\gamma=490\ \text{lb/ft}^{3}. Calcula el esfuerzo normal máximo en la varilla, incluyendo su propio peso.
W L = 110 ft d = ¼ in
Figura 1.2 — Varilla colgante: el esfuerzo máximo ocurre en el extremo superior.
El esfuerzo máximo se da en la sección superior, que soporta el peso colgado PP más el peso propio de toda la varilla, W=γALW=\gamma A L. Por tanto:
σmax⁡=W+PA=γL+PA\sigma_{\max}=\dfrac{W+P}{A}=\gamma L+\dfrac{P}{A}
El término del peso propio, con LL en pies y pasando a in2\text{in}^2 (1 ft2=144 in21\ \text{ft}^2=144\ \text{in}^2):
γL=490⋅110144≈374  extpsi\gamma L=\dfrac{490\cdot 110}{144}\approx 374\ \ ext{psi}
El término de la carga, con A=π4(0.25)2=0.0491 in2A=\tfrac{\pi}{4}(0.25)^2=0.0491\ \text{in}^2:
PA=2000.0491≈4074  extpsi\dfrac{P}{A}=\dfrac{200}{0.0491}\approx 4074\ \ ext{psi}
σmax⁡=374+4074≈4450  extpsi\sigma_{\max}=374+4074\approx 4450\ \ ext{psi}
Observa
Aun en una varilla de 110 ft, el peso propio aporta solo ∼\sim8 % del esfuerzo total: en piezas cortas suele despreciarse, pero en elementos largos (cables, tirantes de torres) no.
¿Qué sigue?
En §1.2 veremos cómo se obtienen experimentalmente las propiedades mecánicas de un material a partir del *diagrama esfuerzo–deformación*, y definiremos el límite de fluencia, la resistencia última y el módulo de elasticidad EE.

1.2 · Diagrama esfuerzo–deformación

Las propiedades mecánicas de un material se obtienen experimentalmente con el ensayo de tracción: una probeta normalizada se estira en una máquina universal mientras se registran la carga PP y el alargamiento δ\delta de una longitud calibrada L0L_0. Convirtiendo a esfuerzo (σ=P/A0\sigma=P/A_0) y deformación unitaria (ε=δ/L0\varepsilon=\delta/L_0) se obtiene el diagrama esfuerzo–deformación, la "huella digital" mecánica del material.
ε σ P Y (fluencia) U (última) ✕ F (fractura) zona elástica
Figura 1.3 — Diagrama esfuerzo–deformación típico de un acero dúctil (no a escala).

Puntos característicos (acero dúctil)

  • ▶Límite de proporcionalidad (P): hasta aquí σ\sigma y ε\varepsilon son proporcionales y la curva es recta — es donde vale la ley de Hooke.
  • ▶Punto de fluencia (Y): el material cede y se deforma con poca o ninguna carga adicional (zona de fluencia o plateau).
  • ▶Resistencia última (σu\sigma_u, punto U): el esfuerzo máximo que soporta el material.
  • ▶Fractura (F): tras la última, la probeta se estricciona (reduce su sección) y finalmente rompe.
Dúctil vs. frágil
Un material dúctil (acero dulce, aluminio, cobre) se deforma mucho antes de romper y avisa la falla. Un material frágil (fundición, concreto, vidrio) rompe casi sin deformación plástica. La ductilidad se mide por el % de alargamiento:  % alarg=Lf−L0L0×100\ \%\,\text{alarg}=\dfrac{L_f-L_0}{L_0}\times 100.

Ejemplo 1.3 — Lectura de un ensayo de tracción

Una probeta de acero de diámetro d=12.5 mmd=12.5\ \text{mm} y longitud calibrada L0=50 mmL_0=50\ \text{mm} alcanza la fluencia con una carga de 35 kN35\ \text{kN} y la rotura con 52 kN52\ \text{kN}; al unir los fragmentos la longitud final es 63.5 mm63.5\ \text{mm}. Determina el esfuerzo de fluencia, la resistencia última y el % de alargamiento.
A0=π4(12.5)2=122.7  extmm2A_0=\dfrac{\pi}{4}(12.5)^2=122.7\ \ ext{mm}^2
σy=35 000122.7≈285  extMPaσu=52 000122.7≈424  extMPa\sigma_y=\dfrac{35\,000}{122.7}\approx 285\ \ ext{MPa}\qquad \sigma_u=\dfrac{52\,000}{122.7}\approx 424\ \ ext{MPa}
%  extalarg=63.5−5050 imes100=27%\%\,\ ext{alarg}=\dfrac{63.5-50}{50}\ imes 100=27\%
Respuesta
σy≈285 MPa\sigma_y\approx 285\ \text{MPa},  σu≈424 MPa\ \sigma_u\approx 424\ \text{MPa},  27%\ 27\% de alargamiento (material claramente dúctil).

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